Pembahasan Lengkap Peluang Kejadian Majemuk Kelas 12: 30 Soal Latihan TKA HOTS

Jawaban: B

Analisis Mendalam:
Total peluang suatu kejadian beserta komplemennya (lawannya) selalu bernilai $1$.
$P(\text{Tidak Hujan}) = 1 - P(\text{Hujan})$
$= 1 - \color{red}{\frac{17}{30}} = \frac{30}{30} - \frac{17}{30} = \mathbf{\frac{13}{30}}$.

Jawaban: B

Analisis Mendalam:
Ruang sampel dua dadu adalah $n(S) = 36$. Kata hubung "atau" tanpa irisan berarti kejadian saling lepas (dijumlahkan):
• Jumlah 8: $\{(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)\} \implies n(A) = \color{red}{5}$
• Jumlah 5: $\{(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)\} \implies n(B) = \color{red}{4}$
$P(A \cup B) = \frac{\color{red}{5} + \color{red}{4}}{36} = \frac{9}{36} = \mathbf{\frac{1}{4}}$.

Jawaban: D

Analisis Mendalam:
Ruang sampel 3 koin: $n(S) = 2^3 = \color{red}{8}$.
Kejadian muncul tepat 2 Angka (A) dan 1 Gambar (G): $\{(AAG), (AGA), (GAA)\} \implies n(A) = \color{red}{3}$.
Maka $P(A) = \mathbf{\frac{3}{8}}$.

Jawaban: E

Analisis Mendalam:
Pasangan berurutan yang memenuhi (dadu pertama 3, dadu kedua 5) hanya ada satu titik sampel, yaitu $(3,5)$ dari total $36$ kemungkinan.
$P(3 \cap 5) = \frac{\color{red}{1}}{6} \times \frac{\color{red}{1}}{6} = \mathbf{\frac{1}{36}}$.

Jawaban: B

Analisis Mendalam:
• Jumlah 9: $\{(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)\} \implies \color{red}{4}$ pasangan.
• Jumlah 10: $\{(4,6), (5,5), (6,4)\} \implies \color{red}{3}$ pasangan.
$P(\text{9 atau 10}) = \frac{\color{red}{4} + \color{red}{3}}{36} = \mathbf{\frac{7}{36}}$.

Jawaban: C

Analisis Mendalam:
"Berwarna sama" berarti: (Merah I DAN Merah II) ATAU (Kuning I DAN Kuning II).
• Total bola Kotak I = $5+3=8$. Total bola Kotak II = $2+6=8$.
• $P(M_1 \cap M_2) = \color{red}{\frac{5}{8}} \times \color{red}{\frac{2}{8}} = \frac{10}{64}$.
• $P(K_1 \cap K_2) = \color{red}{\frac{3}{8}} \times \color{red}{\frac{6}{8}} = \frac{18}{64}$.
Jumlahkan keduanya: $\frac{10}{64} + \frac{18}{64} = \frac{28}{64} = \mathbf{\frac{7}{16}}$.

Jawaban: E

Analisis Mendalam:
Seperangkat kartu bridge memiliki $n(S) = 52$ kartu, dengan $4$ kartu As.
Banyaknya kartu bukan As = $52 - \color{red}{4} = 48$.
Maka $P(\text{Bukan As}) = \mathbf{\frac{48}{52}}$.

Jawaban: D

Analisis Mendalam:
Total bola = $6 + 4 + 8 = 18$ bola.
• $n(S) = C_{3}^{18} = \frac{18 \times 17 \times 16}{3 \times 2 \times 1} = \color{red}{816}$.
• $n(\text{2 Putih, 1 Merah}) = C_{2}^{4} \times C_{1}^{6} = \color{red}{6} \times \color{red}{6} = 36$.
$P = \frac{36}{816} = \mathbf{\frac{3}{68}}$ (sama-sama dibagi 12).

Jawaban: D

Analisis Mendalam:
Hati-hati! Ada kartu As yang juga berwarna merah (As Hati & As Wajik), sehingga terdapat irisan:
$n(\text{As}) = \color{red}{4}$, $n(\text{Merah}) = \color{red}{26}$, dan $n(\text{As} \cap \text{Merah}) = \color{red}{2}$.
$P(\text{As} \cup \text{Merah}) = \frac{\color{red}{4} + \color{red}{26} - \color{red}{2}}{52} = \mathbf{\frac{28}{52}}$.

Jawaban: E

Analisis Mendalam:
Kejadian saling bebas (dikalikan):
• Kantong I (Putih): $\frac{3}{5+3} = \color{red}{\frac{3}{8}}$
• Kantong II (Hitam): $\frac{6}{4+6} = \color{red}{\frac{6}{10}}$
$P(P_1 \cap H_2) = \frac{3}{8} \times \frac{6}{10} = \frac{18}{80} = \mathbf{\frac{9}{40}}$.

Jawaban: C

Analisis Mendalam:
• Jumlah 9: $\{(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)\} \implies \color{red}{4}$ kejadian.
• Jumlah 11: $\{(5,6), (6,5)\} \implies \color{red}{2}$ kejadian.
$P = \frac{\color{red}{4} + \color{red}{2}}{36} = \frac{6}{36} = \mathbf{\frac{1}{6}}$.

Jawaban: A

Analisis Mendalam:
• $n(S) = C_{2}^{52} = \frac{52 \times 51}{2} = \color{red}{1326}$.
• Banyak kartu King ada 4: $n(K) = C_{2}^{4} = \color{red}{6}$.
$P = \frac{6}{1326} = \mathbf{\frac{1}{221}}$.

Jawaban: D

Analisis Mendalam:
Total bola = 10. $n(S) = C_{2}^{10} = \frac{10 \times 9}{2} = \color{red}{45}$.
Kedua bola berwarna sama berarti (2 Kuning) ATAU (2 Biru):
• 2 Kuning: $C_{2}^{4} = \color{red}{6}$
• 2 Biru: $C_{2}^{6} = \color{red}{15}$
$P = \frac{\color{red}{6} + \color{red}{15}}{45} = \frac{21}{45} = \mathbf{\frac{7}{15}}$.

Jawaban: B

Analisis Mendalam:
$P(M_A \cap P_B) = \color{red}{\frac{2}{5}} \times \color{red}{\frac{3}{8}} = \frac{6}{40} = \mathbf{\frac{3}{20}}$.

Jawaban: C

Analisis Mendalam:
Total kelereng = $8 + 10 = 18$.
• $n(S) = C_{2}^{18} = \frac{18 \times 17}{2} = \color{red}{153}$.
• $n(\text{2 Putih}) = C_{2}^{10} = \frac{10 \times 9}{2} = \color{red}{45}$.
$P = \mathbf{\frac{45}{153}}$.

Jawaban: C

Analisis Mendalam:
• Peluang Gambar pada koin: $P(G) = \color{red}{\frac{1}{2}}$
• Mata dadu prima $\{2, 3, 5\}$: $P(\text{Prima}) = \color{red}{\frac{3}{6}}$
$P = \frac{1}{2} \times \frac{3}{6} = \mathbf{\frac{3}{12}}$.

Jawaban: C

Analisis Mendalam:
• Jumlah 5: $\{(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)\} \implies \color{red}{4}$ kejadian.
• Jumlah genap pada dua dadu selalu tepat separuh dari ruang sampel $\implies \color{red}{18}$ kejadian.
Karena angka 5 adalah ganjil, tidak ada irisan antara keduanya:
$P = \frac{\color{red}{4} + \color{red}{18}}{36} = \frac{22}{36} = \mathbf{\frac{11}{18}}$.

Jawaban: C

Analisis Mendalam:
Total siswa = $6 + 5 = 11$ orang. Ada 2 kursi tepi (ujung kiri dan ujung kanan):
• Peluang kursi tepi pertama diisi putra = $\color{red}{\frac{6}{11}}$
• Peluang kursi tepi kedua diisi putra = $\color{red}{\frac{5}{10}}$
Kalikan keduanya: $\frac{6}{11} \times \frac{5}{10} = \frac{30}{110} = \mathbf{\frac{3}{11}}$.

Jawaban: B

Analisis Mendalam:
Dari angka $1$ s.d. $13$, terdapat 7 angka ganjil dan 6 angka genap.
• Ruang sampel: $n(S) = C_{7}^{13} = \color{red}{1716}$.
Agar jumlah 7 bola bernilai ganjil, banyaknya bola ganjil yang terambil harus berjumlah ganjil (1, 3, 5, atau 7 bola ganjil):
1) 1 Ganjil & 6 Genap: $C_{1}^{7} \times C_{6}^{6} = 7 \times 1 = \color{red}{7}$
2) 3 Ganjil & 4 Genap: $C_{3}^{7} \times C_{4}^{6} = 35 \times 15 = \color{red}{525}$
3) 5 Ganjil & 2 Genap: $C_{5}^{7} \times C_{2}^{6} = 21 \times 15 = \color{red}{315}$
4) 7 Ganjil & 0 Genap: $C_{7}^{7} \times C_{0}^{6} = 1 \times 1 = \color{red}{1}$
Total kejadian = $7 + 525 + 315 + 1 = 848$.
$P = \frac{848}{1716} = \mathbf{\frac{212}{429}}$ (dibagi 4).

Jawaban: B

Analisis Mendalam:
• $n(S) = C_{2}^{5} \times C_{1}^{10} = 10 \times 10 = \color{red}{100}$.
Mari kita daftar pasangan 2 angka dari $A$ yang hasil kalinya kurang dari $10$:
• $(1,2) \implies \text{kali} = 2 \implies B \in \{3..10\}$ ada $\color{red}{8}$ pilihan.
• $(1,3) \implies \text{kali} = 3 \implies B \in \{4..10\}$ ada $\color{red}{7}$ pilihan.
• $(1,4) \implies \text{kali} = 4 \implies B \in \{5..10\}$ ada $\color{red}{6}$ pilihan.
• $(1,5) \implies \text{kali} = 5 \implies B \in \{6..10\}$ ada $\color{red}{5}$ pilihan.
• $(2,3) \implies \text{kali} = 6 \implies B \in \{7..10\}$ ada $\color{red}{4}$ pilihan.
• $(2,4) \implies \text{kali} = 8 \implies B \in \{9,10\}$ ada $\color{red}{2}$ pilihan.
Total kejadian = $8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 2 = 32$.
$P = \frac{32}{100} = \mathbf{\frac{16}{50}}$.

Jawaban: C

Analisis Mendalam:
• Total 9 orang duduk melingkar: $n(S) = (9-1)! = \color{red}{8!}$.
• Dudukkan 6 siswa putra melingkar dulu: $(6-1)! = 5!$.
• Terdapat 6 celah kosong di antara siswa putra untuk ditempati 3 siswi: $P_{3}^{6} = 6 \times 5 \times 4$.
$P = \frac{5! \times \color{red}{6 \times 5 \times 4}}{8!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{8 \times 7 \times 6} = \frac{20}{56} = \mathbf{\frac{5}{14}}$.

Jawaban: D

Analisis Mendalam:
• Dadu hitam $>4$ yaitu $\{5,6\} \implies P(P) = \frac{2}{6} = \color{red}{\frac{12}{36}}$.
• Dadu putih $>5$ yaitu $\{6\} \implies P(Q) = \frac{1}{6} = \color{red}{\frac{6}{36}}$.
• Irisan keduanya $(P \cap Q)$: $\frac{2}{6} \times \frac{1}{6} = \color{red}{\frac{2}{36}}$.
$P(P \cup Q) = \frac{12 + 6 - 2}{36} = \frac{16}{36} = \mathbf{\frac{4}{9}}$.

Jawaban: C (Catatan Ralat Opsi)

Analisis Mendalam:
Total bola = $6 + 4 + 8 = 18$ bola. $n(S) = C_{3}^{18} = 816$.
Secara matematis murni, gunakan komplemen (0 bola merah dari 12 bola selain merah):
$P(\ge 1\text{ Merah}) = 1 - \frac{C_{3}^{12}}{C_{3}^{18}} = 1 - \frac{220}{816} = \frac{596}{816} = \mathbf{\frac{149}{204}}$.

Catatan Bedah Soal: Pada naskah asli, pembuat soal menyederhanakan penyebut dengan membagi 6 ($816 \div 6 = 136$). Pada rincian kasus: 1 Merah $= \frac{6 \times 66}{816} = \frac{66}{136}$, dan pembuat soal menjumlahkannya langsung dengan $C_{2}^{6} = 15$ sehingga tertulis $\frac{66+15}{136} = \mathbf{\frac{81}{136}}$ (Opsi C).

Jawaban: E

Analisis Mendalam:
Dari rumus $P(M_n) = \frac{n}{n+3}$, peluang terambil Biru pada pengambilan ke-$n$ selalu $P(B_n) = 1 - \frac{n}{n+3} = \color{red}{\frac{3}{n+3}}$.
Untuk $n=1, 2, 3, 4$, penyebutnya adalah $4 \times 5 \times 6 \times 7 = 840$.
Ada 4 urutan posisi kelereng Biru (BMMM, MBMM, MMBM, MMMB):
1) BMMM: $\frac{3 \times 2 \times 3 \times 4}{840} = \color{red}{\frac{72}{840}}$
2) MBMM: $\frac{1 \times 3 \times 3 \times 4}{840} = \color{red}{\frac{36}{840}}$
3) MMBM: $\frac{1 \times 2 \times 3 \times 4}{840} = \color{red}{\frac{24}{840}}$
4) MMMB: $\frac{1 \times 2 \times 3 \times 3}{840} = \color{red}{\frac{18}{840}}$
Jumlahkan keempat kasus: $\frac{72 + 36 + 24 + 18}{840} = \frac{150}{840} = \mathbf{\frac{5}{28}}$.

Jawaban: D

Analisis Mendalam:
Setiap bilangan bulat positif jika dibagi 9 memiliki 9 kemungkinan sisa yang berulang secara periodik: $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$.
Jika dikuadratkan lalu dibagi 9, sisanya adalah:
• $0^2 \equiv 0$, $1^2 \equiv 1$, $\color{red}{2^2 \equiv 4}$, $3^2 \equiv 0$, $4^2 \equiv 7$
• $5^2 \equiv 7$, $6^2 \equiv 0$, $\color{red}{7^2 = 49 \equiv 4}$, $8^2 = 64 \equiv 1$
Hanya ada $\color{red}{2}$ kondisi yang menghasilkan sisa 4 dari 9 kemungkinan. Maka $P = \mathbf{\frac{2}{9}}$.

Jawaban: C

Analisis Mendalam:
Kata "STATISTIKA" memiliki 10 huruf, dengan rincian: huruf S ada $\color{red}{2}$, dan huruf K ada $\color{red}{1}$.
Cara tercepat tanpa menghitung seluruh faktorial:
• Peluang huruf pertama S = $\color{red}{\frac{2}{10}}$
• Peluang huruf terakhir K (dari sisa 9 posisi) = $\color{red}{\frac{1}{9}}$
Kalikan keduanya: $\frac{2}{10} \times \frac{1}{9} = \frac{2}{90} = \mathbf{\frac{1}{45}}$.

Jawaban: C

Analisis Mendalam:
• Ruang sampel memilih 3 dari 10 siswa: $n(S) = C_{3}^{10} = \color{red}{120}$.
• Jika Ayu sudah pasti terpilih (1 kursi terkunci), maka tinggal memilih 2 siswa lagi dari 9 siswa tersisa: $n(A) = C_{2}^{9} = \color{red}{36}$.
$P(\text{Ayu}) = \frac{36}{120} = \mathbf{\frac{3}{10}}$.

Jawaban: A

Analisis Mendalam:
Calon yang berprofesi sebagai pengusaha adalah Pak Budi dan Pak Anton (semua suara selain Bu Siti).
• Total suara pengusaha = $120 - \color{red}{50} = \color{red}{70}$ suara.
• Peluang terambil suara pengusaha = $\frac{70}{120} = \mathbf{\frac{7}{12}}$.

Jawaban: A

Analisis Mendalam:
Cari peluang komplemen (menu belum habis) terlebih dahulu:
• Ayam goreng belum habis = $1 - 0,3 = \color{red}{0,7}$
• Sayur asem belum habis = $1 - 0,2 = \color{red}{0,8}$
Karena saling bebas, kalikan keduanya: $0,7 \times 0,8 = \mathbf{0,56}$.

Jawaban: A

Analisis Mendalam:
Total bibit ikan mula-mula = $15 + 10 = 25$ ekor.
• Lompatan pertama (Bibit Lele): $P(L_1) = \color{red}{\frac{15}{25}}$
• Lompatan kedua (Bibit Nila, dengan total ikan tersisa 24 ekor): $P(N_2|L_1) = \color{red}{\frac{10}{24}}$
Kalikan keduanya: $\frac{15}{25} \times \frac{10}{24} = \frac{3}{5} \times \frac{5}{12} = \frac{3}{12} = \mathbf{\frac{1}{4}}$.