Menghadapi Tes Kemampuan Akademik (TKA) sering kali bikin deg-degan karena materinya merangkum banyak bab sekaligus. Tapi tenang, lewat artikel ini kita akan mengupas tuntas Pembahasan Lengkap Latihan Mandiri TKA Matematika SMA: 20 Soal Aljabar, Fungsi & Geometri HOTS dengan langkah yang logis dan mudah diikuti!
Mulai dari sifat eksponen, sistem pertidaksamaan linear, fungsi komposisi, hingga trik cepat menghitung sudut dan luas bangun datar—yuk kita bedah satu per satu!
Daftar Isi Materi:
A. Bilangan: Eksponen, Bentuk Akar & Pertumbuhan
1. Menyederhanakan Operasi Pangkat Pecahan
Soal:
Jika $x = j^{\frac{2}{3}}k^{\frac{3}{2}}$ dan $y = jk^{\frac{1}{6}}$, dengan $x > 0$ dan $y > 0$, maka nilai dari $\left(\frac{x}{y}\right)^{\frac{2}{4}}$ adalah...
Langkah 1: Sederhanakan Pembagian di Dalam Kurung
Gunakan sifat pembagian eksponen $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{x}{y} = \frac{j^{\frac{2}{3}}k^{\frac{3}{2}}}{j^{1}k^{\frac{1}{6}}} = j^{\frac{2}{3} - \color{red}{1}} \cdot k^{\frac{3}{2} - \color{red}{\frac{1}{6}}}$
$= j^{-\frac{1}{3}} \cdot k^{\frac{9-1}{6}} = j^{-\frac{1}{3}}k^{\frac{4}{3}}$
Langkah 2: Pangkatkan dengan $\frac{2}{4}$ (atau $\frac{1}{2}$)
$\left(j^{-\frac{1}{3}}k^{\frac{4}{3}}\right)^{\color{red}{\frac{1}{2}}} = j^{-\frac{1}{6}}k^{\frac{2}{3}} = \mathbf{\frac{k^{\frac{2}{3}}}{j^{\frac{1}{6}}}}$ (atau dalam bentuk akar: $\mathbf{\sqrt[6]{\frac{k^4}{j}}}$).
2. Merasionalkan Pecahan Bentuk Akar
Soal:
Jika $\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{5}}} = a + b\sqrt{5}$, maka nilai $a + b = \dots$
- $5$
- $6$
- $6,5$
- $7$
- $8$
Jawaban: A
Langkah 1: Hilangkan Pecahan Bertingkat
Kalikan pembilang dan penyebut dengan $\color{red}{2\sqrt{5}}$:
$\frac{\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{5}}\right) \times \color{red}{2\sqrt{5}}}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{5}}\right) \times \color{red}{2\sqrt{5}}} = \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} + 2}$
Langkah 2: Rasionalkan dengan Sekawan
Kalikan dengan sekawan penyebutnya yaitu $\frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} - 2}$:
$= \frac{(\sqrt{5} - 2)^2}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \frac{5 - 4\sqrt{5} + 4}{5 - 4} = 9 - 4\sqrt{5}$
Diperoleh $a = \color{red}{9}$ dan $b = \color{red}{-4}$. Maka $a + b = 9 + (-4) = \mathbf{5}$.
3. Aplikasi Fungsi Pertumbuhan Eksponensial Amoeba
Soal:
Dalam ilmu biologi ada yang namanya pertumbuhan jenis amoeba tertentu. Misalkan pertumbuhannya mengikuti fungsi eksponensial $A_t = A_0 \times (2)^t$ dengan $A_0$ adalah banyaknya amoeba pada awal pengamatan dan $t$ adalah waktu pada pengamatan terjadi (satuannya menit). Jika diketahui pada awal pengamatan pukul 09.00 ada 100 amoeba, tentukan banyak amoeba setelah dilakukan pengamatan lagi pada pukul 09.10!
- $102.400$
- $104.200$
- $100.000$
- $110.000$
- $210.000$
Jawaban: A
Analisis Mendalam:
• Jumlah awal ($A_0$) = $\color{red}{100}$ amoeba.
• Durasi waktu ($t$) dari pukul 09.00 ke 09.10 = $\color{red}{10}$ menit.
Substitusikan ke dalam rumus:
$A_{10} = \color{red}{100} \times 2^{\color{red}{10}} = 100 \times 1.024 = \mathbf{102.400}$ amoeba.
B. Aljabar: SPLTV & Sistem Pertidaksamaan Linear
4. Analisis Harga Paket Mix Platter (SPLTV)
Soal:
Mix platter merujuk pada sajian hidangan yang terdiri dari berbagai macam makanan dalam satu piring. Misalkan terdapat mix platter makanan ringan yang berisi makanan A, B, dan C dengan tiga porsi penawaran: kecil, sedang, besar. Porsi kecil terdiri atas makanan A, B, dan C masing-masing 2 buah harganya Rp24.000,00. Porsi sedang terdiri atas 3 makanan A, 4 makanan B, dan 3 makanan C harganya Rp40.000,00. Porsi besar terdiri atas 6 makanan A, 6 makanan B, dan 8 makanan C harganya Rp82.000,00.
Berdasarkan informasi tersebut, berilah tanda centang ($\checkmark$) pada kolom Benar atau Salah untuk setiap pernyataan berikut!
| Pernyataan | Benar | Salah |
|---|---|---|
| Makanan B paling mahal | ||
| Makanan B lebih mahal dari A | ||
| Selisih harga makanan A dan C adalah Rp2.000,00 |
Langkah 1: Susun Persamaan Aljabar
1) Porsi Kecil: $2A + 2B + 2C = 24.000 \implies \mathbf{A + B + C = 12.000}$
2) Porsi Sedang: $3A + 4B + 3C = 40.000 \implies 3(A + B + C) + B = 40.000$
Substitusi persamaan (1): $3(\color{red}{12.000}) + B = 40.000 \implies \mathbf{B = 4.000}$.
3) Porsi Besar: $6A + 6B + 8C = 82.000 \implies 6(A + B + C) + 2C = 82.000$
Substitusi persamaan (1): $6(\color{red}{12.000}) + 2C = 82.000 \implies 2C = 10.000 \implies \mathbf{C = 5.000}$.
Maka harga makanan A adalah: $A = 12.000 - (4.000 + 5.000) = \mathbf{3.000}$.
Langkah 2: Evaluasi Tabel Pernyataan
| Pernyataan | Benar | Salah |
|---|---|---|
| Makanan B paling mahal (Salah, karena C = Rp5.000 paling mahal) | $\checkmark$ | |
| Makanan B lebih mahal dari A (Rp4.000 > Rp3.000) | $\checkmark$ | |
| Selisih harga makanan A dan C adalah Rp2.000,00 (Rp5.000 - Rp3.000) | $\checkmark$ |
5. Analisis Pendapatan Tiket Masuk Event
Soal:
Diketahui alumni tidak dikenakan biaya masuk event, sedangkan masyarakat umum dikenakan biaya sebesar Rp10.000,00 per orang. Berilah tanda centang ($\checkmark$) pada kolom Benar atau Salah untuk setiap pernyataan berikut!
| Pernyataan | Benar | Salah |
|---|---|---|
| Jika banyak pengunjung dari alumni dan masyarakat masing-masing 400 dan 1.200 orang, banyak biaya masuk yang diperoleh adalah Rp10.000.000,00. | ||
| Biaya masuk yang mungkin terkumpul sebesar Rp8.000.000,00. | ||
| Biaya masuk yang terkumpul mencapai nilai maksimum jika semua pengunjungnya dari masyarakat umum. |
Analisis Mendalam:
Misalkan $x$ = jumlah alumni (biaya Rp0) dan $y$ = jumlah masyarakat umum (biaya Rp10.000). Fungsi total pendapatan adalah $F(x,y) = 10.000y$.
| Pernyataan | Benar | Salah |
|---|---|---|
| Jika alumni 400 dan masyarakat 1.200 orang, biaya diperoleh Rp10.000.000,00. (Salah, karena $1.200 \times \text{Rp10.000} = \mathbf{\text{Rp12.000.000,00}}$) |
$\checkmark$ | |
| Biaya masuk yang mungkin terkumpul sebesar Rp8.000.000,00. (Benar, tercapai saat pengunjung masyarakat umum berjumlah $800$ orang) |
$\checkmark$ | |
| Biaya masuk mencapai nilai maksimum jika semua pengunjungnya dari masyarakat umum. (Benar, karena alumni gratis sehingga kuota penuh oleh masyarakat umum menghasilkan uang terbanyak) |
$\checkmark$ |
6. Menyusun Model Matematika Program Linear
Soal:
Suatu produsen sosis siap saji mengemas produknya dalam dua jenis kemasan, yaitu single pack (berisi 1 unit sosis) dan regular pack (berisi 5 unit sosis). Dalam satu hari, jumlah sosis yang diproduksi tidak lebih dari 1.000 unit, sedangkan jumlah kemasan yang dibuat sedikitnya 200 kemasan. Biaya pengemasan untuk setiap single pack adalah Rp500,00 dan untuk setiap regular pack adalah Rp1.500,00, dengan total biaya pengemasan tidak lebih dari Rp450.000,00. Jika $x$ dan $y$ berturut-turut menyatakan banyaknya kemasan single pack dan regular pack yang dibuat, model matematika yang sesuai dengan situasi tersebut adalah...
- $x+y\le 1.000;\ x+5y\ge 200;\ x+3y\le 900;\ x\ge 0;\ y\ge 0$
- $x+5y\le 1.000;\ x+y\ge 200;\ x+3y\le 900;\ x\ge 0;\ y\ge 0$
- $5x+y\le 1.000;\ x+y\ge 200;\ x+3y\le 900;\ x\ge 0;\ y\ge 0$
- $x+5y\le 1.000;\ x+y\le 200;\ x+3y\le 900;\ x\ge 0;\ y\ge 0$
- $5x+y\le 1.000;\ x+y\le 200;\ x+3y\le 900;\ x\ge 0;\ y\ge 0$
Jawaban: B
Analisis Mendalam:
1) Batas Unit Sosis ("tidak lebih dari 1.000"): $1x + 5y \le 1.000 \implies \mathbf{x + 5y \le 1.000}$.
2) Batas Jumlah Kemasan ("sedikitnya 200"): $\mathbf{x + y \ge 200}$.
3) Batas Biaya ("tidak lebih dari Rp450.000"): $500x + 1.500y \le 450.000$ (bagi $\color{red}{500}$) $\implies \mathbf{x + 3y \le 900}$.
4) Syarat Non-Negatif: $\mathbf{x \ge 0;\ y \ge 0}$.
7. Menentukan Sistem Pertidaksamaan dari Grafik Arsir (Bagian 1)
Soal:
Perhatikan informasi grafik Kartesius berikut:
• Garis pertama memotong sumbu-$Y$ di $(0,3)$ dan sumbu-$X$ di $(-3,0)$.
• Garis kedua memotong sumbu-$Y$ di $(0,6)$ dan sumbu-$X$ di $(6,0)$.
• Garis ketiga adalah garis vertikal tegak lurus di $x = 4$.
• Daerah Himpunan Penyelesaian (diarsir) berbentuk segitiga yang terletak di sebelah kanan atas perpotongan garis pertama dan kedua, serta dibatasi di sebelah kiri garis $x = 4$.
Tentukan sistem pertidaksamaan dari gambar di atas!
- $x-y\ge -3;\ x+y\ge 6;\ x\le 4;\ y\ge 0$
- $x-y\ge -3;\ x+y\le 6;\ x\le 4;\ y\ge 0$
- $x-y\le -3;\ x+y\ge 6;\ x\le 4;\ y\ge 0$
- $x-y\le -3;\ x+y\le 6;\ x\le 4;\ y\ge 0$
- $x+y\ge -3;\ x-y\ge 6;\ x\le 4;\ y\ge 0$
Jawaban: A
Analisis Mendalam:
Gunakan rumus cepat persamaan garis $ay + bx = a \cdot b$:
1) Garis melalui $(0,3)$ dan $(-3,0)$: $3x + (-3)y = (3)(-3) \implies 3x - 3y = -9 \implies x - y = -3$. Ambil titik uji di dalam arsiran, misal $(\color{red}{4},\color{red}{4})$: $\color{red}{4} - \color{red}{4} = 0 \ge -3$, maka $\mathbf{x - y \ge -3}$.
2) Garis melalui $(0,6)$ dan $(6,0)$: $6x + 6y = 36 \implies x + y = 6$. Uji titik $(\color{red}{4},\color{red}{4})$: $\color{red}{4} + \color{red}{4} = 8 \ge 6$, maka $\mathbf{x + y \ge 6}$.
3) Arsiran berada di kiri garis vertikal $x=4$ dan di atas sumbu-$X$: $\mathbf{x \le 4;\ y \ge 0}$.
8. Menentukan Sistem Pertidaksamaan dari Dua Daerah Irisan
Soal:
Perhatikan informasi grafik Kartesius berikut:
• Garis pertama memotong sumbu-$Y$ di $(0,4)$ dan sumbu-$X$ di $(2,0)$.
• Garis kedua memotong sumbu-$Y$ di $(0,2)$ dan sumbu-$X$ di $(3,0)$.
• Daerah yang diarsir terdiri atas dua bidang segitiga yang saling bertolak belakang di Kuadran I (segitiga atas di antara $(0,2)$ dan $(0,4)$, serta segitiga bawah di antara $(2,0)$ dan $(3,0)$).
Tentukan sistem pertidaksamaan dari gambar di atas!
Langkah 1: Tentukan Persamaan Kedua Garis Batas
• Garis 1 melalui $(0,4)$ dan $(2,0)$: $4x + 2y = 8 \implies \mathbf{2x + y = 4}$.
• Garis 2 melalui $(0,2)$ dan $(3,0)$: $2x + 3y = 6 \implies \mathbf{2x + 3y = 6}$.
Langkah 2: Nyatakan Sistem Pertidaksamaan Gabungan
Karena arsiran memuat dua wilayah berseberangan, penyelesaiannya merupakan gabungan dari dua sistem pertidaksamaan di Kuadran I ($x \ge 0, y \ge 0$):
• Daerah Segitiga Atas: $2x + y \le 4;\ 2x + 3y \ge 6;\ x \ge 0;\ y \ge 0$
• Daerah Segitiga Bawah: $2x + y \ge 4;\ 2x + 3y \le 6;\ x \ge 0;\ y \ge 0$
(Jika ditulis dalam satu pertidaksamaan kuadrat gabungan: $\mathbf{(2x + y - 4)(2x + 3y - 6) \le 0}$ dengan $\mathbf{x \ge 0, y \ge 0}$).
16. Menentukan Wilayah Himpunan Penyelesaian pada Grafik
Soal:
Pada grafik kuadran I, terdapat garis pertama yang menghubungkan $(0,4)$ dan $(4,0)$ serta garis kedua yang menghubungkan $(0,2)$ dan $(6,0)$. Kedua garis membagi bidang menjadi wilayah I (bawah), II (kiri tengah antara titik potong sumbu-$Y$ 2 dan 4), III (atas kanan), IV (kanan bawah antara titik potong sumbu-$X$ 4 dan 6), dan V (di kiri sumbu-$Y$).
Daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear $x + y \le 4;\ x + 3y \ge 6;\ x \ge 0;\ y \ge 0$ adalah...
- I
- II
- III
- IV
- V
Jawaban: B (Daerah II)
Analisis Mendalam:
• $x + y \le 4$: berada di bawah/kiri garis yang melalui $(0,4)$ dan $(4,0)$ (mencakup wilayah I dan II).
• $x + 3y \ge 6$: berada di atas/kanan garis yang melalui $(0,2)$ dan $(6,0)$ (mencakup wilayah II dan III).
Irisan yang memenuhi kedua syarat tersebut sekaligus di Kuadran I ($x \ge 0, y \ge 0$) adalah $\mathbf{\text{Daerah II}}$.
C. Fungsi Komposisi & Fungsi Invers Kontekstual
9. Operasi Komposisi Tiga Fungsi dan Invers
Soal:
Diketahui $f(x) = 5 - 2x$, $g(x) = 6 - 2x$, dan $h(x) = x^2 + 3x + 2$. Hasil dari $(f^{-1} \circ g \circ h)(-1)$ adalah...
- $5$
- $2,5$
- $-0,5$
- $-1$
- $-1,5$
Jawaban: C
Analisis Mendalam (Kerjakan dari Paling Kanan):
1) Hitung $h(-1) = (\color{red}{-1})^2 + 3(\color{red}{-1}) + 2 = 1 - 3 + 2 = \color{red}{0}$.
2) Substitusi ke $g$: $g(\color{red}{0}) = 6 - 2(\color{red}{0}) = \color{red}{6}$.
3) Hitung $f^{-1}(\color{red}{6})$: cari nilai $x$ sehingga $f(x) = 6$:
$5 - 2x = 6 \implies -2x = 1 \implies x = -\frac{1}{2} = \mathbf{-0,5}$.
10. Persamaan Sifat Invers Fungsi Komposisi (HOTS)
Soal:
Jika $(f^{-1} \circ g^{-1})(x) = 3 - \frac{1}{2}x$ dan $(f^{-1} \circ g^{-1})(a) + (g \circ f)(a) = 4$, maka nilai $a$ adalah...
- $-6$
- $-2$
- $1$
- $2$
- $4$
Jawaban: D
Langkah 1: Gunakan Sifat Invers Komposisi
Ingat identitas penting: $(f^{-1} \circ g^{-1})(x) = (g \circ f)^{-1}(x)$.
Karena $(g \circ f)^{-1}(x) = 3 - \frac{1}{2}x$, kita cari fungsi aslinya $(g \circ f)(x)$ dengan memisalkan $y = 3 - \frac{1}{2}x$:
$\frac{1}{2}x = 3 - y \implies x = 6 - 2y \implies \mathbf{(g \circ f)(x) = 6 - 2x}$.
Langkah 2: Substitusikan $x = a$ ke Persamaan
$\left(3 - \frac{1}{2}\color{red}{a}\right) + (6 - 2\color{red}{a}) = 4$
$9 - \frac{5}{2}a = 4 \implies \frac{5}{2}a = 5 \implies \mathbf{a = 2}$.
11. Evaluasi Invers Fungsi Komposisi Diri Sendiri (HOTS)
Soal:
Diketahui $(f \circ f)^{-1}(11) = 2p$ dan $f(2x - 4) = 3x - 7$, maka nilai $p$ adalah...
- $1$
- $2$
- $3$
- $4$
- $5$
Jawaban: C
Analisis Mendalam (Trik Tanpa Mencari Rumus $f(x)$):
Dari sifat invers, $(f \circ f)^{-1}(11) = 2p \iff \mathbf{f(f(2p)) = 11}$.
• Tahap 1: Kapan hasil $f(2x-4) = 3x-7$ bernilai $11$?
$3x - 7 = 11 \implies 3x = 18 \implies x = \color{red}{6}$.
Masukkan $x = \color{red}{6}$ ke dalam kurung: $2(\color{red}{6}) - 4 = 8$. Artinya, $f(8) = 11$, sehingga $\mathbf{f(2p) = 8}$.
• Tahap 2: Kapan hasil $3x - 7$ bernilai $8$?
$3x - 7 = 8 \implies 3x = 15 \implies x = \color{red}{5}$.
Masukkan $x = \color{red}{5}$ ke dalam kurung: $2(\color{red}{5}) - 4 = 6$. Artinya, $f(6) = 8$.
Samakan isi di dalam kurung: $2p = 6 \implies \mathbf{p = 3}$.
12. Sifat Komutatif pada Tahap Produksi Sepatu
Soal:
Dalam pembuatan sepatu terdapat tahap pewarnaan dan pemotongan. Tahap pewarnaan dirumuskan sebagai $f(x) = 3x - 4$, sedangkan tahap pemotongan dirumuskan sebagai $g(x) = 2x + m$. Kedua tahap tersebut mempunyai hubungan yang dapat dinyatakan sebagai $f \circ g = g \circ f$. Nilai $m$ yang memenuhi adalah...
- $2$
- $1$
- $0$
- $-1$
- $-2$
Jawaban: E
Analisis Mendalam:
Jabarkan persamaan $f(g(x)) = g(f(x))$:
$3(\color{red}{2x + m}) - 4 = 2(\color{red}{3x - 4}) + m$
$6x + 3m - 4 = 6x - 8 + m$
$3m - m = -8 + 4 \implies 2m = -4 \implies \mathbf{m = -2}$.
13. Pemodelan Komposisi Budidaya Ikan Lele
Soal:
Lele merupakan salah satu jenis ikan air tawar yang mudah dibudidayakan. Tingkat kelangsungan hidup benih lele sejak ditebar hingga dipanen (survival rate) umumnya mencapai 80%. Setiap benih yang bertahan hidup hingga masa panen menghasilkan seekor lele dengan berat rata-rata 125 gram. Misalkan banyak benih yang ditebar adalah $x$ ekor. Banyaknya lele yang bertahan hidup hingga panen dinyatakan oleh $f(x)$. Selanjutnya, jika terdapat $x$ ekor lele yang hidup hingga panen, berat total hasil panen dinyatakan oleh fungsi $g(x)$. Fungsi komposisi yang menyatakan banyaknya benih lele yang harus ditebar agar diperoleh hasil panen sebanyak $x$ kg adalah...
- $(f \circ g)(x)$
- $(g \circ f)(x)$
- $(f^{-1} \circ g)(x)$
- $(g \circ f)^{-1}(x)$
- $(f \circ g)^{-1}(x)$
Jawaban: D
Analisis Mendalam:
Perhatikan alur maju dari penebaran benih hingga menjadi berat panen:
$\text{Benih } (x) \xrightarrow{\text{fungsi } f} \text{Lele Hidup } f(x) \xrightarrow{\text{fungsi } g} \text{Berat Panen } g(f(x)) = (g \circ f)(x)$.
Karena soal menanyakan alur sebaliknya (diketahui target hasil panen $x$ kg, dicari jumlah benih awal yang harus ditebar), maka kita menggunakan invers dari fungsi komposisi tersebut, yaitu $\mathbf{(g \circ f)^{-1}(x)}$.
14. Fungsi Invers Biaya Pajak dan Pengiriman
Soal:
Alvin membeli sebuah televisi di toko elektronik seharga $x$ rupiah. Pada saat membayar, terdapat pajak toko sebesar 11%. Karena barang yang dibeli Alvin terlalu besar, ia menggunakan jasa angkut dari toko dengan membayar sebesar Rp20.000,00. Jika $f(x)$ menyatakan biaya total yang harus dibayar oleh Alvin, maka invers dari $f(x)$ adalah...
- $f^{-1}(x) = 20.000 + 0,11x$
- $f^{-1}(x) = 20.000 + 1,11x$
- $f^{-1}(x) = \frac{x - 20.000}{0,11}$
- $f^{-1}(x) = \frac{x - 20.000}{1,11}$
- $f^{-1}(x) = \frac{20.000 - x}{1,11}$
Jawaban: D
Analisis Mendalam:
• Harga barang ditambah pajak 11%: $x + 0,11x = 1,11x$.
• Ditambah ongkos angkut tetap Rp20.000: $f(x) = 1,11x + 20.000$.
Cari inversnya ($y = 1,11x + 20.000$):
$1,11x = y - 20.000 \implies x = \frac{y - 20.000}{1,11} \implies \mathbf{f^{-1}(x) = \frac{x - 20.000}{1,11}}$.
15. Produksi Kertas Dua Tahap (Fungsi Komposisi)
Soal:
Suatu pabrik kertas dengan bahan dasar kayu ($x$) memproduksi kertas melalui dua tahap. Tahap pertama menggunakan mesin I yang menghasilkan bahan kertas setengah jadi ($m$) dengan mengikuti fungsi $m = f(x) = x^2 - 3x - 2$. Tahap kedua menggunakan mesin II menghasilkan kertas mengikuti fungsi $g(m) = 4m + 2$ dengan $x$ dalam satuan ton dan $m$ dalam satuan lembar papan. Jika bahan dasar kayu yang tersedia untuk suatu produksi sebesar 4 ton, tentukan banyak kertas yang dihasilkan!
Langkah 1: Hitung Hasil Mesin I untuk $x = 4$ Ton
$m = f(\color{red}{4}) = (\color{red}{4})^2 - 3(\color{red}{4}) - 2 = 16 - 12 - 2 = \color{red}{2}$ lembar papan.
Langkah 2: Masukkan Hasil ke Mesin II
$g(\color{red}{2}) = 4(\color{red}{2}) + 2 = 8 + 2 = \mathbf{10}$ satuan kertas.
D. Geometri & Pengukuran: Sudut, Luas & Kecukupan Data
17. Analisis Kecukupan Data Luas Trapesium Siku-Siku (HOTS)
Soal:
Pada trapesium siku-siku $ABCD$ (dengan siku-siku di $A$ dan $B$, serta sisi sejajar $AD \parallel BC$), diketahui tinggi $AB = 4$ dan $AD \le BC$. Apakah luas trapesium tersebut kurang dari 30?
Putuskan apakah pernyataan (1) dan (2) berikut cukup untuk menjawab pertanyaan tersebut!
(1) Keliling trapesium $ABCD = 22$.
(2) $CD = 5$ dan $BC = 8$.
- Pernyataan (1) SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi Pernyataan (2) SAJA tidak cukup.
- Pernyataan (2) SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi Pernyataan (1) SAJA tidak cukup.
- DUA pernyataan BERSAMA-SAMA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi SATU pernyataan SAJA tidak cukup.
- Pernyataan (1) SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan dan Pernyataan (2) SAJA cukup.
- Pernyataan (1) dan Pernyataan (2) tidak cukup untuk menjawab pertanyaan.
Jawaban: D
Analisis Mendalam:
Rumus luas trapesium: $L = \frac{AD + BC}{2} \times AB = \frac{AD + BC}{2} \times \color{red}{4} = 2(AD + BC)$.
Pertanyaan "Apakah $L < 30$?" ekuivalen dengan "Apakah $AD + BC < 15$?"
• Uji Pernyataan (1) SAJA:
Keliling $= AB + BC + CD + AD = 22 \implies 4 + (AD + BC) + CD = 22 \implies AD + BC = 18 - CD$.
Karena $CD$ adalah sisi miring dan jarak tegak lurusnya $AB = 4$, maka panjang $CD$ pasti memenuhi $CD \ge 4$.
Akibatnya, $AD + BC = 18 - CD \le 18 - 4 = \color{red}{14}$. Karena $14 < 15$, maka luasnya pasti kurang dari 30 ($L \le 28$). (Pernyataan 1 SAJA Cukup).
• Uji Pernyataan (2) SAJA:
Diketahui sisi miring $CD = 5$, tinggi $AB = 4$, dan $BC = 8$. Dengan Teorema Pythagoras, selisih sisi sejajar adalah $\sqrt{5^2 - 4^2} = \color{red}{3}$, sehingga $AD = 8 - 3 = 5$.
Maka luasnya adalah $L = 2(5 + 8) = \color{red}{26} < 30$. (Pernyataan 2 SAJA Cukup).
18. Menghitung Sudut pada Segitiga Sama Kaki
Soal:
Segitiga $ADC$ sama kaki dengan $AC = DC$. Titik $B$ terletak pada sisi $AC$. Jika $p = 65^\circ$ (besar $\angle CAD$) dan $q = 20^\circ$ (besar $\angle BDC$), maka nilai sudut $x$ ($\angle DBC$) adalah...
- $95^\circ$
- $100^\circ$
- $105^\circ$
- $110^\circ$
- $115^\circ$
Jawaban: D
Analisis Mendalam:
1) Karena $\triangle ADC$ sama kaki dengan $AC = DC$, maka sudut di hadapan kedua sisi tersebut sama besar:
$\angle CDA = \angle CAD = p = \color{red}{65^\circ}$.
2) Sudut puncak $\angle ACD = 180^\circ - (65^\circ + 65^\circ) = \color{red}{50^\circ}$.
3) Perhatikan segitiga $\triangle BDC$: diketahui $\angle BCD = 50^\circ$ dan $\angle BDC = q = \color{red}{20^\circ}$.
Maka besar sudut $x = \angle DBC = 180^\circ - (\color{red}{50^\circ} + \color{red}{20^\circ}) = \mathbf{110^\circ}$.
19. Luas Daerah Segitiga yang Diarsir di Dalam Persegi Panjang
Soal:
Perhatikan persegi panjang $PQRS$ dengan titik $T, U$ terletak pada sisi bawah $QR$ dan titik $W, V$ terletak pada sisi kanan $SR$. Dua daerah segitiga yang diarsir adalah $\triangle PTU$ dan $\triangle PVW$. Jika panjang $QT = TU = UR = 6\text{ cm}$ dan panjang $SW = WV = VR = 4\text{ cm}$, maka luas daerah yang diarsir adalah...
- $36\text{ cm}^2$
- $54\text{ cm}^2$
- $72\text{ cm}^2$
- $90\text{ cm}^2$
- $108\text{ cm}^2$
Jawaban: C
Analisis Mendalam:
• Panjang persegi panjang ($QR = PS$) $= 6 + 6 + 6 = \color{red}{18\text{ cm}}$.
• Lebar/tinggi persegi panjang ($SR = PQ$) $= 4 + 4 + 4 = \color{red}{12\text{ cm}}$.
1) Luas $\triangle PTU$: memiliki alas $TU = 6\text{ cm}$ dan tinggi tegak lurus $PQ = 12\text{ cm}$.
$L_1 = \frac{1}{2} \times \color{red}{6} \times \color{red}{12} = 36\text{ cm}^2$.
2) Luas $\triangle PVW$: memiliki alas $WV = 4\text{ cm}$ dan tinggi tegak lurus $PS = 18\text{ cm}$.
$L_2 = \frac{1}{2} \times \color{red}{4} \times \color{red}{18} = 36\text{ cm}^2$.
Total luas daerah yang diarsir $= 36 + 36 = \mathbf{72\text{ cm}^2}$.
20. Evaluasi Sudut pada Trapesium Sama Kaki
Soal:
Pada trapesium $ABCD$, diketahui kaki $AD = BC$, sisi $\overline{AB}$ sejajar $\overline{DC}$, $AB > DC$, $\angle BAD = 70^\circ$, dan $\angle ABD = 30^\circ$.
Tentukan Benar atau Salah untuk setiap pernyataan berikut terkait dengan besar sudut pada trapesium $ABCD$!
| Pernyataan | Benar | Salah |
|---|---|---|
| $\angle BCD = 110^\circ$ | ||
| $\angle CBD = 40^\circ$ | ||
| $\angle BDC = 40^\circ$ |
Analisis Mendalam:
1) Karena $ABCD$ adalah trapesium sama kaki ($AD = BC$), maka sudut alasnya sama besar: $\angle ABC = \angle BAD = \color{red}{70^\circ}$.
2) Sudut dalam sepihak antara garis sejajar $AB \parallel DC$ berjumlah $180^\circ$:
$\angle BCD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - \color{red}{70^\circ} = \mathbf{110^\circ}$ (Pernyataan 1 Benar).
3) Karena $\angle ABC = 70^\circ$ dan $\angle ABD = 30^\circ$, maka:
$\angle CBD = 70^\circ - \color{red}{30^\circ} = \mathbf{40^\circ}$ (Pernyataan 2 Benar).
4) Sudut $\angle BDC$ berseberangan dalam dengan $\angle ABD$ (karena $DC \parallel AB$), sehingga:
$\angle BDC = \angle ABD = \mathbf{30^\circ}$ (Pernyataan 3 Salah).
| Pernyataan | Benar | Salah |
|---|---|---|
| $\angle BCD = 110^\circ$ | $\checkmark$ | |
| $\angle CBD = 40^\circ$ | $\checkmark$ | |
| $\angle BDC = 40^\circ$ (Seharusnya $30^\circ$) | $\checkmark$ |
