Bank Soal

Merasa pusing dengan angka-angka yang berjejer di dalam kurung? Tenang saja, kamu tidak sendirian! Di artikel ini, kita akan mengulas Pembahasan Lengkap Operasi Matriks dan Kesamaan Kelas 11 HOTS yang sering keluar di ujian. Siapkan alat tulismu, mari kita bedah tuntas 21 soal dari konsep dasar hingga variasi yang menjebak!” Daftar Isi Materi: A. Unsur, Ordo, dan Kesamaan Dasar (Soal 1-5) B. Kesamaan Matriks Tingkat Lanjut (Soal 6-12) C. Operasi Penjumlahan & Perkalian Matriks (Soal 13-17) D. Analisis Persamaan dan Sifat Matriks (Soal 18-21) A. Unsur, Ordo, dan Kesamaan Dasar 1. Menentukan Elemen dan Transpos Soal: Diketahui matriks $A = begin{pmatrix} -2 & 3 & 10 \ 4 & -6 & -8 end{pmatrix}$. Tentukan nilai dari elemen $a_{12} times a_{23}$, tentukan ordo, serta transpos matriks $A$! Lihat Penyelesaian Analisis Mendalam: Elemen $a_{12}$ = $color{red}{3}$ dan $a_{23}$ = $color{red}{-8}$. Hasil: $3 times (-8) = mathbf{-24}$. Ordo matriks (Baris $times$ Kolom) = $mathbf{2 times 3}$. Transpos ($A^T$) = $mathbf{begin{pmatrix} -2 & 4 \ 3 & -6 \ 10 & -8 end{pmatrix}}$ Tutup 2. Kesamaan Matriks Dasar Soal: Diketahui $P = begin{pmatrix} 2x & 4 \ 3 & 10 end{pmatrix}$ dan $Q = begin{pmatrix} 8 & 4 \ 3 & 5y end{pmatrix}$. Jika $P = Q$ tentukanlah nilai $x^2 + 2yx$! Lihat Penyelesaian Analisis Mendalam: Samakan posisi: $2x = 8 implies mathbf{x = 4}$. Samakan posisi: $5y = 10 implies mathbf{y = 2}$. Hitung: $(color{red}{4})^2 + 2(color{red}{2})(color{red}{4}) = 16 + 16 = mathbf{32}$. Tutup 3. Menyusun Matriks dari Fungsi Definisi Soal: Sebuah matriks $D$ berordo $2 times 2$ didefinisikan dengan aturan elemen $d_{ij} = i + 2j$. Susunlah bentuk matriks $D$ tersebut secara utuh berdasarkan aturan fungsinya! Lihat Penyelesaian Analisis Mendalam: Variabel $i$ adalah baris, $j$ adalah kolom. $d_{11} = 1 + 2(1) = 3$ $d_{12} = 1 + 2(2) = 5$ $d_{21} = 2 + 2(1) = 4$ $d_{22} = 2 + 2(2) = 6$ Matriks utuh: $mathbf{D = begin{pmatrix} 3 & 5 \ 4 & 6 end{pmatrix}}$. Tutup 4. Karakteristik Matriks Identitas Soal: Diketahui matriks identitas $I = begin{pmatrix} 2x – 3 & 0 & 0 \ 0 & 3y + 7 & 0 \ 0 & 0 & z + 5 end{pmatrix}$. Analisislah nilai $x, y, z$ yang memenuhi syarat matriks identitas, kemudian hitunglah hasil dari $2x + (3y times 3z)$! Lihat Penyelesaian Analisis Mendalam: Diagonal utama matriks identitas selalu bernilai 1. $2x – 3 = 1 implies mathbf{x = 2}$ $3y + 7 = 1 implies 3y = -6 implies mathbf{y = -2}$ $z + 5 = 1 implies mathbf{z = -4}$ Hasil: $2(color{red}{2}) + (3(color{red}{-2}) times 3(color{red}{-4})) = 4 + (-6 times -12) = 4 + 72 = mathbf{76}$. Tutup 5. Menganalisis Matriks Diagonal Soal: Diketahui $B = begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \ 0 & 1 & b – 1 \ 0 & 2a + 4 & 3 end{pmatrix}$ adalah matriks diagonal. Berdasarkan sifat-sifat matriks diagonal, analisislah nilai $a$ dan $b$ yang mungkin! Lihat Penyelesaian Analisis Mendalam: Matriks diagonal memiliki elemen luar diagonal bernilai NOL. $b – 1 = 0 implies mathbf{b = 1}$ $2a + 4 = 0 implies mathbf{a = -2}$ Tutup B. Kesamaan Matriks Tingkat Lanjut 6. Kesamaan Transpos dengan Sistem Persamaan Soal: $A = begin{pmatrix} x + y & 2 \ 3 & x – y end{pmatrix}$ dan $B = begin{pmatrix} 4 & y + 2 \ 2 & 2 end{pmatrix}$. Jika berlaku hubungan $A = B^T$, analisislah sistem persamaan yang terbentuk untuk menemukan nilai $x$ dan $y$, lalu tentukan hasil dari $a_{11} times b_{22}$! Lihat Penyelesaian Analisis Mendalam: $B^T = begin{pmatrix} 4 & 2 \ y + 2 & 2 end{pmatrix}$. Samakan posisi (2,1): $3 = y + 2 implies mathbf{y = 1}$. Samakan posisi (1,1): $x + color{red}{1} = 4 implies mathbf{x = 3}$. Hasil $a_{11} times b_{22} = (x+y) times 2 = 4 times 2 = mathbf{8}$. Tutup 7. Syarat Batas pada Kesamaan (HOTS) Soal: $M = begin{pmatrix} a^2 & b + 2 \ a – b & 4 end{pmatrix}$ dan $N = begin{pmatrix} 9 & c – a \ 5 & 4 end{pmatrix}$. Jika $M^T = N$ dan diketahui syarat batas $m_{21} < 0$, susunlah langkah-langkah aljabar untuk menentukan nilai $a$, $b$, $c$ dan hasil dari $a^2 + b - ac$! Lihat Penyelesaian Analisis Mendalam: $M^T = begin{pmatrix} a^2 & a – b \ b + 2 & 4 end{pmatrix}$. (2,1): $b + 2 = 5 implies mathbf{b = 3}$. (1,1): $a^2 = 9 implies a = 3$ atau $a = -3$. Syarat $m_{21} < 0$ (pada matriks $M$, $m_{21}$ adalah $a-b$). Jika $a=3$, maka $3-3 = 0$ (Salah). Jika $a=-3$, maka $-3-3 = -6$ (Benar!). Maka $mathbf{a = -3}$. (1,2): $a – b = c – a implies -6 = c + 3 implies mathbf{c = -9}$. Hasil: $(color{red}{-3})^2 + color{red}{3} – (color{red}{-3})(color{red}{-9}) = 9 + 3 – 27 = mathbf{-15}$. Tutup 8. Substitusi Matriks pada Logaritma Soal: $A = begin{pmatrix} 2a & 4 \ -9 & 10 end{pmatrix}$ dan $B = begin{pmatrix} 8 & -9 \ 4 & 10 end{pmatrix}$. Jika $A = B^T$, tentukan nilai $^2log a times 2frac{^alog a}{a}$! Lihat Penyelesaian Analisis Mendalam: $A = B^T implies 2a = 8 implies mathbf{a = 4}$. Substitusikan: $^2log color{red}{4} times 2left(frac{^{color{red}{4}}log color{red}{4}}{color{red}{4}}right)$. Karena $^nlog n = 1$, maka: $2 times 2(frac{1}{4}) = 2 times frac{1}{2} = mathbf{1}$. Tutup 9. Substitusi Akar dan Logaritma Soal: $P = begin{pmatrix} x – 1 & 5 \ -2 & 3 end{pmatrix}$ dan $Q = begin{pmatrix} 4 & -2 \ 5 & 3 end{pmatrix}$. Analisislah apakah memenuhi syarat $P = Q^T$, lalu tentukan nilai $sqrt{8 cdot ^xlog x^2}$! Lihat Penyelesaian Analisis Mendalam: $P = Q^T implies x – 1 = 4 implies mathbf{x = 5}$. Substitusikan: $sqrt{8 cdot ^5log (color{red}{5})^2} = sqrt{8 cdot 2} = sqrt{16} = mathbf{4}$. Tutup 10. Menyusun SPLDV dari Matriks Soal: $K = begin{pmatrix} x + 2y & 8 \ 3 & 2 end{pmatrix}$ dan $L = begin{pmatrix} 10 & 3 \ 8 & y – x end{pmatrix}$. Jika $K^T = L$, tentukan nilai $2xy +

Selamat datang kembali di Mathara! Sebelum kita terjun ke dalam latihan soal matriks tingkat lanjut yang menguras otak, mari kita mantapkan dulu fondasi utamanya. Berikut adalah catatan ringkas mengenai konsep dasar Determinan dan Invers Matriks ordo $2 times 2$. Pastikan kamu mencatat dan menyimpan “rumus sakti” ini baik-baik ya! Determinan dan Invers Matriks $2 times 2$ Misalkan terdapat matriks $A$, invers matriks $A$ (dinotasikan dengan $A^{-1}$) dapat diperoleh dengan menggunakan rumus: $A^{-1} = frac{1}{|A|} cdot adj (A)$ Keterangan: $|A|$ = Determinan matriks $A$, dapat pula dinotasikan dengan $det (A)$ $adj (A)$ = Adjoin matriks $A$ Jika $A = begin{pmatrix} a & b \ c & d end{pmatrix}$, maka: Determinan: $|A|$ atau $Det(A) = |A| = ad – bc$ Adjoin (A): $begin{pmatrix} d & -b \ -c & a end{pmatrix}$ Invers: $A^{-1} = frac{1}{ad-bc} begin{pmatrix} d & -b \ -c & a end{pmatrix}$ Sandbox Eksplorasi Latihan Diagnostik Buktikan Invers Cobain Langsung! Ubah angka pada matriks di bawah untuk melihat perubahan determinan dan invers secara real-time. A = 1. Determinan |A| 2. Adjoin(A) 3. Invers A-1 Tentukan invers dari matriks P di bawah ini! P = 42 53 Tingkat Kesulitan: Level 1 (Bilangan Bulat) Level 2 (Pecahan) Ganti Soal Acak Masukkan Jawabanmu (P-1): 1 Cek Jawaban Apakah Inversnya Benar? Jika matriks A (dari Tab 1) dikalikan dengan inversnya, hasilnya haruslah Matriks Identitas I. Mulai Pembuktian Explorer Langkah Verifikasi Kuis Geser slider — semua nilai berubah real-time a3 b2 c1 d4 Input matriks A A = Hitung Matriks acak Buktikan A × A⁻¹ = I Masukkan matriks A lalu klik Buktikan untuk melihat verifikasi lengkap A = Buktikan Matriks acak Soal baru

Operasi matriks terlihat mudah, tapi apakah kamu yakin sudah memahami sifat-sifat tersembunyinya? Artikel ini akan mengajakmu memahami logika mendalam di balik penjumlahan, perkalian, dan pembuktian sifat aljabar pada matriks. Siapkan konsentrasimu, mari kita bedah tuntas 9 soal Operasi Matriks ini dari tingkat dasar hingga penalaran HOTS (Higher Order Thinking Skills)! Daftar Isi Materi: A. Ordo dan Kesamaan Transpos (Soal 1-2) B. Miskonsepsi Kuadrat Aljabar Matriks (Soal 3) C. Persamaan Matriks & Aljabar Variabel (Soal 4-5) D. Operasi Aljabar pada Matriks Kompleks (Soal 6-7) E. Pembuktian Sifat Perkalian Matriks (Soal 8-9) A. Ordo dan Kesamaan Transpos 1. Menentukan Ordo Hasil Perkalian Soal: Diketahui matriks kolom $X$ berordo $3 times 1$ dan matriks baris $Y$ berordo $1 times 3$: $X = begin{bmatrix} 2 \ -1 \ 3 end{bmatrix}$ dan $Y = begin{bmatrix} 4 & 0 & -2 end{bmatrix}$. Tentukan ordo dari $X . Y$! Lihat Penyelesaian Analisis Mendalam: Syarat perkalian matriks: jumlah kolom matriks pertama harus sama dengan jumlah baris matriks kedua. Ordo $X = 3 times color{red}{1}$ Ordo $Y = color{red}{1} times 3$ Karena angka di dalam (1 dan 1) sudah sama, maka matriks bisa dikalikan. Hasil ordo matriks barunya adalah angka terluar dari kedua matriks tersebut, yaitu: $mathbf{3 times 3}$. Tutup 2. Kesamaan Matriks dan Transpos Soal: Diketahui matriks $A = begin{pmatrix} 3a & -4 \ 5 & -2 end{pmatrix}, B = begin{pmatrix} 9 & 2 \ -7 & b end{pmatrix}$, dan $C = begin{pmatrix} 3 & -1 \ -1 & 2 end{pmatrix}$. Transpos $C$ dinyatakan dengan $C^T$, dan $A + B = 2C^T$, maka nilai $a + b = dots$ Lihat Penyelesaian Langkah 1: Cari nilai $2C^T$ $C^T = begin{pmatrix} 3 & -1 \ -1 & 2 end{pmatrix}$ *(Transpos C di soal ini kebetulan hasilnya sama dengan matriks aslinya karena elemen diagonalnya simetris).* $2C^T = 2begin{pmatrix} 3 & -1 \ -1 & 2 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 6 & -2 \ -2 & 4 end{pmatrix}$ Langkah 2: Jumlahkan A dan B lalu samakan $A + B = begin{pmatrix} 3a+9 & -2 \ -2 & b-2 end{pmatrix}$ Samakan dengan hasil $2C^T$: $3a + 9 = color{red}{6} implies 3a = -3 implies a = -1$ $b – 2 = color{red}{4} implies b = 6$ Nilai $a + b = -1 + 6 = mathbf{5}$. Tutup B. Miskonsepsi Kuadrat Aljabar Matriks 3. Membuktikan Kegagalan Rumus Aljabar pada Matriks (HOTS) Soal: Dalam aljabar bilangan real, kita mengenal rumus $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Seorang siswa bernama Aikal berpendapat bahwa rumus tersebut juga pasti berlaku untuk matriks. Untuk membuktikannya, ia menggunakan dua matriks berikut: $P = begin{pmatrix} 1 & -1 \ 0 & 2 end{pmatrix}$ dan $Q = begin{pmatrix} 2 & 0 \ 1 & 1 end{pmatrix}$ a. Hitunglah hasil dari $(P + Q)^2$ dengan menjumlahkannya terlebih dahulu. b. Hitunglah hasil dari $P^2 + 2PQ + Q^2$. c. Apakah hasilnya sama? Jika berbeda, jelaskan sifat perkalian matriks apa yang membuat rumus tersebut gagal! Lihat Penyelesaian Penyelesaian Bagian a: $P + Q = begin{pmatrix} 1 & -1 \ 0 & 2 end{pmatrix} + begin{pmatrix} 2 & 0 \ 1 & 1 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 3 & -1 \ 1 & 3 end{pmatrix}$ $(P + Q)^2 = begin{pmatrix} 3 & -1 \ 1 & 3 end{pmatrix}begin{pmatrix} 3 & -1 \ 1 & 3 end{pmatrix}$ $= begin{pmatrix} (3)(3) + (-1)(1) & (3)(-1) + (-1)(3) \ (1)(3) + (3)(1) & (1)(-1) + (3)(3) end{pmatrix} = mathbf{begin{pmatrix} 8 & -6 \ 6 & 8 end{pmatrix}}$ Penyelesaian Bagian b: Cari $P^2$: $begin{pmatrix} 1 & -1 \ 0 & 2 end{pmatrix}begin{pmatrix} 1 & -1 \ 0 & 2 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 1 & -3 \ 0 & 4 end{pmatrix}$ Cari $Q^2$: $begin{pmatrix} 2 & 0 \ 1 & 1 end{pmatrix}begin{pmatrix} 2 & 0 \ 1 & 1 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 4 & 0 \ 3 & 1 end{pmatrix}$ Cari $2PQ$: $PQ = begin{pmatrix} 1 & -1 \ 0 & 2 end{pmatrix}begin{pmatrix} 2 & 0 \ 1 & 1 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 1 & -1 \ 2 & 2 end{pmatrix}$ $2PQ = begin{pmatrix} 2 & -2 \ 4 & 4 end{pmatrix}$ Jumlahkan ketiganya ($P^2 + 2PQ + Q^2$): $begin{pmatrix} 1 & -3 \ 0 & 4 end{pmatrix} + begin{pmatrix} 2 & -2 \ 4 & 4 end{pmatrix} + begin{pmatrix} 4 & 0 \ 3 & 1 end{pmatrix} = mathbf{begin{pmatrix} 7 & -5 \ 7 & 9 end{pmatrix}}$ Penyelesaian Bagian c (Kesimpulan): Hasil dari bagian (a) TIDAK SAMA dengan hasil bagian (b). Rumus tersebut gagal karena dalam matriks, penjabaran $(P+Q)^2$ yang sebenarnya adalah $(P+Q)(P+Q) = P^2 + PQ + QP + Q^2$. Karena sifat perkalian matriks tidak komutatif ($PQ neq QP$), maka kita tidak bisa menyederhanakan $PQ + QP$ menjadi $2PQ$. Tutup C. Persamaan Matriks & Aljabar Variabel 4. Evaluasi Persamaan Sederhana Soal: Diketahui matriks $P, Q,$ dan $R$: $P = begin{pmatrix} 3 & -1 \ 2 & 4 end{pmatrix}, Q = begin{pmatrix} n & 2 \ 5 & 1 end{pmatrix}, R = begin{pmatrix} 5 & 1 \ -11 & 11 end{pmatrix}$ Jika berlaku hubungan $3P – Q^T = R$, berapakah nilai dari $n$? Lihat Penyelesaian Analisis Mendalam: Pertama, hitung $3P$ dan ubah $Q$ menjadi $Q^T$. $3P = 3begin{pmatrix} 3 & -1 \ 2 & 4 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 9 & -3 \ 6 & 12 end{pmatrix}$ $Q^T = begin{pmatrix} n & 5 \ 2 & 1 end{pmatrix}$ Karena kita hanya mencari nilai $n$, kita cukup fokus pada elemen posisi pertama (baris 1, kolom 1) dari seluruh persamaan: $3P_{11} – Q^T_{11} = R_{11}$. $9 – n = color{red}{5}$ $n = 9 – 5 = mathbf{4}$. Tutup 5. Operasi Penjumlahan & Pengurangan Variabel Soal: Diketahui matriks $A = begin{pmatrix} 2x+1 & 3 \ 5 & y-2 end{pmatrix}, B = begin{pmatrix} -3 & -5 \ 2 & -4y end{pmatrix}, C = begin{pmatrix} 0 & -2 \ 7 & 4 end{pmatrix}$. a. Jika $A + B = C$, nilai $3x + y$ adalah.. b. Jika $B – A = C^T$, nilai $2x – y$ adalah.. Lihat Penyelesaian Penyelesaian Bagian a: $A + B = begin{pmatrix} (2x+1)-3 & 3-5 \ 5+2 & (y-2)-4y

Pernahkah kamu menemukan soal matriks yang di dalamnya tiba-tiba terselip logaritma dan pangkat eksponen? Jangan panik dulu! Artikel ini akan mengajakmu memahami logika mendalam cara memecahkan kombinasi mematikan tersebut. Siapkan alat tulismu, mari kita bedah 5 soal Kesamaan Matriks tingkat HOTS secara langkah demi langkah! Daftar Isi Materi: Soal 1: Kesamaan Matriks & Eksponen Dasar Soal 2: Kesamaan Matriks & Sifat Logaritma Soal 3: Mencari Hubungan Dua Variabel Soal 4: Analisis Substitusi Matriks Transpos (HOTS) Soal 5: Evaluasi Elemen Matriks Bertahap Soal 1: Kesamaan Matriks & Eksponen Dasar 1. Diketahui matriks $A = begin{pmatrix} 2^{x+1} & 4 \ 1 & 9^y end{pmatrix}$ dan $B = begin{pmatrix} 32 & 1 \ 4 & 27 end{pmatrix}$. Jika $A = B^T$, tentukan nilai $x$ dan $y$! Latihan Interaktif Tahap 1: Klik dua angka pada matriks B di bawah ini untuk menukar posisinya menjadi matriks Transpos ($B^T$)! 32 1 4 27 Tahap 1 Berhasil! Matriks sudah ditranspos. Tahap 2: Samakan posisi elemen matriks untuk mencari nilai $x$ dan $y$. Cari x (Posisi 1,1): $2^{x+1} = 32 implies x = $ Cari y (Posisi 2,2): $9^y = 27 implies y = $ Cek Jawaban 🔄 Ulangi Latihan 🎉 Sempurna! Jawabanmu tepat. Silakan buka penyelesaian di bawah untuk melihat cara kerjanya. Angkanya masih kurang tepat. Ingat untuk menyamakan basis eksponennya terlebih dahulu! 🔄 Ulangi Latihan Lihat Penyelesaian Langkah 1: Transposkan Matriks B Matriks B Asli $begin{pmatrix} color{blue}{32} & color{blue}{1} \ color{e67e22}{4} & color{e67e22}{27} end{pmatrix}$ → Matriks $B^T$ (Baris jadi Kolom) $begin{pmatrix} color{blue}{32} & color{e67e22}{4} \ color{blue}{1} & color{e67e22}{27} end{pmatrix}$ Syarat utamanya adalah $A = B^T$. Ubah baris matriks B menjadi kolom. $B^T = begin{pmatrix} 32 & 4 \ 1 & 27 end{pmatrix}$ Langkah 2: Samakan Posisi Elemen untuk Mencari x Elemen baris 1 kolom 1 ($a_{11}$): $2^{x+1} = 32$ Ubah 32 menjadi basis 2: $2^{x+1} = 2^5$ Karena basis sudah sama, turunkan pangkatnya: $x + 1 = 5$ $x = 5 – 1 = mathbf{4}$ Langkah 3: Samakan Posisi Elemen untuk Mencari y Elemen baris 2 kolom 2 ($a_{22}$): $9^y = 27$ Ubah 9 dan 27 ke basis 3: $(3^2)^y = 3^3$ $3^{2y} = 3^3$ Turunkan pangkatnya: $2y = 3 implies mathbf{y = frac{3}{2}}$ Tutup Soal 2: Kesamaan Matriks & Sifat Logaritma 2. Diketahui matriks $P = begin{pmatrix} ^2log_a & ^3log_{81} \ 1 & ^5log_b end{pmatrix}$ dan $Q = begin{pmatrix} 3 & 1 \ 4 & 2 end{pmatrix}$. Jika $P = Q^T$, tentukan nilai $a$ dan $b$! Lihat Penyelesaian Langkah 1: Transposkan Matriks Q $Q^T = begin{pmatrix} 3 & 4 \ 1 & 2 end{pmatrix}$ Langkah 2: Cari Nilai a Samakan elemen posisi (1,1): $^2log a = 3$ Ubah ke bentuk eksponen ($basis^{hasil} = numerus$): $2^3 = a implies mathbf{a = 8}$ Langkah 3: Cari Nilai b Samakan elemen posisi (2,2): $^5log b = 2$ Ubah ke bentuk eksponen: $5^2 = b implies mathbf{b = 25}$ Tutup Soal 3: Mencari Hubungan Dua Variabel 3. Jika $begin{pmatrix} ^alog_b & 2 \ 1 & 3^x end{pmatrix} = begin{pmatrix} 2 & 1 \ 2 & 81 end{pmatrix}^T$, tentukan hubungan antara nilai $x$ dan $b$ jika $a = 3$! Lihat Penyelesaian Langkah 1: Transposkan Matriks Ruas Kanan $begin{pmatrix} 2 & 1 \ 2 & 81 end{pmatrix}^T = begin{pmatrix} 2 & 2 \ 1 & 81 end{pmatrix}$ Langkah 2: Cari Nilai b dengan Substitusi a Samakan elemen posisi (1,1): $^alog b = 2$ Substitusikan nilai $a = color{red}{3}$: $^3log b = 2$ $3^2 = b implies mathbf{b = 9}$ Langkah 3: Cari Nilai x Samakan elemen posisi (2,2): $3^x = 81$ $3^x = 3^4 implies mathbf{x = 4}$ Kesimpulan Hubungan: Nilai spesifik yang terbentuk dari persamaan tersebut adalah $mathbf{x = 4}$ dan $mathbf{b = 9}$. Tutup Soal 4: Analisis Substitusi Matriks Transpos (HOTS) 4. Diketahui dua buah matriks $P$ dan $Q$ sebagai berikut: $P = begin{pmatrix} ^2log (x – 2) & 3 \ x + y & ^5log 125 end{pmatrix}$ dan $Q = begin{pmatrix} 3 & 10 \ 3 & 3 end{pmatrix}$ Jika berlaku hubungan persamaan $P = Q^T$ maka: – Tentukan nilai $x$ dan $y$ – Hitunglah nilai dari elemen $p_{11} + p_{21} – y$ Lihat Penyelesaian Langkah 1: Transposkan Matriks Q $Q^T = begin{pmatrix} 3 & 3 \ 10 & 3 end{pmatrix}$ Langkah 2: Cari Nilai x Samakan elemen posisi (1,1): $^2log (x – 2) = 3$ Ubah ke eksponen: $x – 2 = 2^3$ $x – 2 = 8 implies mathbf{x = 10}$ Langkah 3: Cari Nilai y Samakan elemen posisi (2,1): $x + y = 10$ Substitusikan nilai $x = color{red}{10}$: $color{red}{10} + y = 10 implies mathbf{y = 0}$ Langkah 4: Hitung Permintaan Akhir Nilai $p_{11} + p_{21} – y$ Kita tahu dari kesamaan matriks bahwa $p_{11} = 3$ dan $p_{21} = 10$. $= 3 + 10 – color{red}{0} = mathbf{13}$ Tutup Soal 5: Evaluasi Elemen Matriks Bertahap 5. Diberikan dua matriks $A$ dan $B$ sebagai berikut: $A = begin{pmatrix} ^xlog 125 & 10 \ 4^{y-1} & -5 end{pmatrix}$ dan $B = begin{pmatrix} 3 & frac{1}{16} \ 2x+2 & -5 end{pmatrix}$ Berdasarkan informasi bahwa matriks A sama dengan transpose dari matriks B ($A = B^T$), lakukanlah analisis berikut: – Susunlah persamaan aljabar yang terbentuk dari hubungan elemen $a_{11} = b_{11}$ dan $a_{21} = b_{12}$ – Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan logaritma tersebut – Tentukan nilai $y$ yang memenuhi persamaan eksponen tersebut – Hitunglah nilai dari $x^2 + 4y$ Lihat Penyelesaian Langkah 1: Matriks Transpos B $B^T = begin{pmatrix} 3 & 2x+2 \ frac{1}{16} & -5 end{pmatrix}$ Jawaban Poin 1 (Menyusun Persamaan): Dari $a_{11} = (B^T)_{11}$, didapat: $^xlog 125 = 3$ Dari $a_{21} = (B^T)_{21}$, didapat: $4^{y-1} = frac{1}{16}$ Jawaban Poin 2 (Mencari x): Selesaikan persamaan logaritma: $^xlog 125 = 3$ $x^3 = 125$ $mathbf{x = 5}$ Jawaban Poin 3 (Mencari y): Selesaikan persamaan eksponen: $4^{y-1} = frac{1}{16}$ $4^{y-1} = 4^{-2}$ Turunkan pangkat: $y – 1 = -2 implies mathbf{y = -1}$ Jawaban Poin 4 (Hitung Akhir): Substitusikan nilai $x=color{red}{5}$ dan $y=color{red}{-1}$ ke rumus $x^2 + 4y$: $= (color{red}{5})^2 + 4(color{red}{-1})$ $= 25 – 4 = mathbf{21}$ Tutup

Selamat datang di latihan soal komprehensif! Artikel ini mengajakmu memahami logika mendalam di balik materi Fungsi Komposisi, Fungsi Invers, dan Matriks Dasar dengan struktur langkah demi langkah. Siapkan alat tulismu, dan mari kita mulai bedah tuntas 20 soal dari tingkat dasar hingga penalaran HOTS (Higher Order Thinking Skills). Daftar Isi Materi: A. Fungsi Komposisi & Operasi Aljabar (Soal 1-4) B. Fungsi Invers & Invers Komposisi (Soal 5-12) C. Matriks Dasar & Transpos (Soal 13-15) D. Analisis Campuran HOTS (Soal 16-20) A. Fungsi Komposisi & Operasi Aljabar 1. Menentukan Fungsi Komposisi Dasar Soal: Diketahui fungsi $f(x) = 3x – 2$ dan $g(x) = x^2 + 1$. Tentukan bentuk dari fungsi komposisi $(f circ g)(x)$ dan $(g circ f)(x)$! Lihat Penyelesaian Penyelesaian $(f circ g)(x)$ : Masukkan fungsi $g(x)$ ke dalam $f(x)$. $(f circ g)(x) = f(color{red}{g(x)}) = 3(color{red}{x^2 + 1}) – 2$ $= 3x^2 + 3 – 2 = mathbf{3x^2 + 1}$ Penyelesaian $(g circ f)(x)$ : Masukkan fungsi $f(x)$ ke dalam $g(x)$. $(g circ f)(x) = g(color{red}{f(x)}) = (color{red}{3x – 2})^2 + 1$ Gunakan penjabaran kuadrat: $(a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$ $= (9x^2 – 12x + 4) + 1 = mathbf{9x^2 – 12x + 5}$ Tutup 2. Soal Cerita: Pabrik Pembuatan Tempe Soal: Sebuah pabrik pembuatan tempe memproduksi tempe melalui dua tahap mesin. Tahap 1 (Mesin Pengupas dan Perebus Kedelai) mengikuti fungsi $g(x) = 4x – 2$, dengan $x$ adalah massa kedelai dalam kg. Tahap 2 (Mesin Fermentasi dan Pengemasan) menerima hasil dari Tahap 1 dan memprosesnya mengikuti fungsi $f(x) = frac{1}{2}x + 5$. Tentukan fungsi komposisi yang memodelkan total proses produksi pabrik tersebut dari kedelai mentah hingga menjadi tempe kemasan! Lihat Penyelesaian Analisis Mendalam: Proses berurutan dari Tahap 1 lalu ke Tahap 2 berarti output $g(x)$ menjadi input bagi $f(x)$. Ini dimodelkan dengan fungsi komposisi $(f circ g)(x)$ atau $f(g(x))$. $f(color{red}{g(x)}) = frac{1}{2}(color{red}{4x – 2}) + 5$ Kalikan setengah ke dalam kurung: $f(g(x)) = (color{red}{2x – 1}) + 5$ $f(g(x)) = 2x + 4$ Jadi, model matematis total produksinya adalah $mathbf{2x + 4}$. Tutup 3. Menentukan Fungsi Luar Soal: Diketahui fungsi bagian dalam $g(x) = 2x – 3$ dan fungsi komposisinya adalah $(f circ g)(x) = 4x + 1$. Tentukan rumus untuk fungsi luar/fungsi kiri $f(x)$! Lihat Penyelesaian Analisis Mendalam: Gunakan metode pemisalan. Misal $a = 2x – 3$, maka $2x = a + 3$, sehingga $x = frac{a + 3}{2}$. Substitusikan nilai $x$ ini ke persamaan hasil komposisi: $f(a) = 4left(color{red}{frac{a + 3}{2}}right) + 1$ Coret angka 4 dengan penyebut 2: $f(a) = 2(color{red}{a + 3}) + 1$ $f(a) = 2a + 6 + 1 = 2a + 7$ Kembalikan variabel $a$ menjadi $x$. Jadi, $mathbf{f(x) = 2x + 7}$. Tutup 4. Menentukan Fungsi Luar (Bentuk Kuadrat) Soal: Diberikan fungsi $g(x) = x + 4$. Jika diketahui hasil komposisi $(f circ g)(x) = x^2 + 6x + 5$, tentukan bentuk dari fungsi $f(x)$! Lihat Penyelesaian Analisis Mendalam: Gunakan pemisalan lagi. Misal $a = x + 4$, maka $x = a – 4$. Substitusikan $x$ ke persamaan hasil komposisi: $f(a) = (color{red}{a – 4})^2 + 6(color{red}{a – 4}) + 5$ $f(a) = (a^2 – 8a + 16) + color{red}{6a – 24} + 5$ Gabungkan suku-suku sejenis: $f(a) = a^2 – 2a – 3$ Jadi, $mathbf{f(x) = x^2 – 2x – 3}$. Tutup B. Fungsi Invers & Invers Komposisi 5. Invers Fungsi Pangkat Soal: Jika $f(x) = x^5 – 4$, maka $f^{-1}(x)$ adalah… Lihat Penyelesaian Analisis Mendalam: Misalkan $f(x) = y$. $y = x^5 – 4$ Pindahkan $-4$ ke ruas kiri: $x^5 = y + 4$ Akar pangkat 5-kan kedua ruas: $x = sqrt[5]{y + 4}$ Jadi, fungsi inversnya adalah $mathbf{f^{-1}(x) = sqrt[5]{x + 4}}$. Tutup 6. Nilai Fungsi dari Persamaan Invers Soal: Jika invers fungsi $f(x)$ adalah $f^{-1}(x) = frac{5x}{x – 2}, x neq 2$, maka nilai dari $f(10)$ adalah… Lihat Penyelesaian Analisis Mendalam: Gunakan trik konsep invers: Jika $f(a) = b$, maka $f^{-1}(b) = a$. Misalkan $f(10) = y$, maka berlaku $f^{-1}(y) = color{red}{10}$. Masukkan $y$ ke dalam rumus invers yang diketahui: $frac{5y}{y – 2} = color{red}{10}$ Kali silang: $5y = 10(y – 2)$ $5y = 10y – 20$ $20 = 5y implies y = 4$ Jadi, nilai $f(10)$ adalah $mathbf{4}$. Tutup 7. Menentukan Nilai Invers Soal: Diketahui $f(x) = frac{5x + 12}{x – 3}, x neq 3$. Nilai dari $f^{-1}(7)$ adalah… Lihat Penyelesaian Analisis Mendalam: Sama seperti trik sebelumnya, misalkan $f^{-1}(7) = a$, yang berarti $f(a) = color{red}{7}$. Substitusikan $a$ ke fungsi asli: $frac{5a + 12}{a – 3} = color{red}{7}$ Kali silang: $5a + 12 = 7(a – 3)$ $5a + 12 = 7a – 21$ Pindah ruas: $12 + 21 = 7a – 5a$ $33 = 2a implies a = frac{33}{2}$ Jadi, nilai $f^{-1}(7)$ adalah $mathbf{frac{33}{2}}$ atau $16,5$. Tutup 8. Invers dari Fungsi Komposisi Soal: Diketahui $f(x) = x – 5$ dan $g(x) = 3x$. Tentukan $(f circ g)^{-1}(x)$ … Lihat Penyelesaian Langkah 1: Cari fungsi komposisinya dulu. $(f circ g)(x) = f(color{red}{g(x)}) = color{red}{3x} – 5$ Langkah 2: Inverskan hasilnya. Misal $(f circ g)(x) = y implies y = 3x – 5$ $y + 5 = 3x implies x = frac{y + 5}{3}$ Jadi, $mathbf{(f circ g)^{-1}(x) = frac{x + 5}{3}}$. Tutup 9. Invers Komposisi Diri Sendiri Soal: Diketahui $f(x) = frac{2}{x – 2}, x neq 2$. Berapakah $(f circ f)^{-1}(x)$? Lihat Penyelesaian Langkah 1: Komposisikan $f$ dengan dirinya sendiri $(f circ f)(x) = f(color{red}{f(x)}) = frac{2}{color{red}{left(frac{2}{x – 2}right)} – 2}$ Samakan penyebut bagian bawah: $= frac{2}{frac{2 – 2(x – 2)}{x – 2}} = frac{2}{frac{6 – 2x}{x – 2}}$ Balik pecahan saat dibagi: $= frac{2(x – 2)}{6 – 2x} = frac{x – 2}{3 – x}$ Langkah 2: Inverskan Hasilnya Gunakan rumus cepat $y = frac{ax+b}{cx+d} implies y^{-1} = frac{-dx+b}{cx-a}$. Dari $frac{x – 2}{-x + 3}$, kita punya $a=1, b=-2, c=-1, d=3$. Inversnya $= frac{-3x – 2}{-x – 1}$ Kalikan atas dan bawah dengan $(-1)$ agar rapi, hasilnya $mathbf{frac{3x + 2}{x + 1}}$. Tutup 10. Sifat Sakti Invers Komposisi Soal: Diketahui $a^{-1}(x) = 2x + 3$ dan $b^{-1}(x) = x – 2$. Tentukan

Sudah paham cara menghitung peluang satu dadu? Sekarang kita naik level! Bagaimana jika dua dadu dilempar bersamaan? Atau bagaimana memprediksi cuaca besok? Di bagian terakhir ini, kita akan membahas logika Kejadian Majemuk dan Frekuensi Harapan yang sering muncul di ujian. Daftar Isi Materi: A. Peluang Dasar & Empirik (Soal 1-3) B. Peluang Dua Objek: Koin & Dadu (Soal 4-7) C. Frekuensi Harapan & Komplemen (Soal 8-10) A. Peluang Dasar & Empirik 1. Pengambilan Huruf Acak Soal: Dari kata “MATEMATIKA”, peluang terambil huruf “A” secara acak adalah… 1/10 2/10 3/10 4/10 5/10 Lihat Penyelesaian Jawaban: C (3/10) Analisis Mendalam: Ruang Sampel n(S): Hitung total huruf M-A-T-E-M-A-T-I-K-A. Ada 10 huruf. Kejadian n(K): Hitung banyak huruf “A”. Ada 3 buah. Peluang = 3/10. Tutup 2. Peluang Terpilih Ketua Kelas Soal: Dalam sebuah kelas ada 20 siswa laki-laki dan 15 siswa perempuan. Dipilih satu ketua. Peluang terpilih perempuan adalah… 15/20 15/35 20/35 20/15 35/15 Lihat Penyelesaian Jawaban: B (15/35) Analisis Mendalam: Total Siswa n(S): 20 Laki + 15 Perempuan = 35 siswa. Target n(K): Siswa Perempuan ada 15. Peluang = n(K) / n(S) = 15/35. (Bisa disederhanakan jadi 3/7, tapi opsi B sudah tepat). Tutup 3. Peluang Empirik Koin Soal: Dari 50 kali pelemparan koin, angka muncul 22 kali. Peluang empirik muncul gambar adalah… 22/50 28/50 1/2 22/28 28/22 Lihat Penyelesaian Jawaban: B (28/50) Analisis Mendalam: Peluang empirik didapat dari hasil percobaan nyata. Total lempar = 50. Muncul Angka = 22. Maka, Muncul Gambar = 50 – 22 = 28 kali. Peluang Gambar = 28/50. Tutup B. Peluang Dua Objek: Koin & Dadu Konsep Ruang Sampel Ganda: Jika ada 2 benda dilempar, Ruang Sampelnya dikalikan. • 2 Koin: 2 x 2 = 4 kemungkinan {AA, AG, GA, GG}. • 2 Dadu: 6 x 6 = 36 kemungkinan. 4. Dua Koin Dilempar Soal: Dua buah koin dilempar bersamaan. Peluang muncul keduanya Gambar adalah… 1/4 2/4 3/4 1/2 1/3 Lihat Penyelesaian Jawaban: A (1/4) Analisis Mendalam: Ruang Sampel (4): {Angka-Angka, Angka-Gambar, Gambar-Angka, Gambar-Gambar}. Target: Keduanya Gambar {G, G}. Hanya ada 1 kejadian. Peluang = 1/4. Tutup 5. Dua Dadu (Jumlah 10) Soal: Dua dadu dilempar bersamaan. Peluang muncul mata dadu berjumlah 10 adalah… 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 Lihat Penyelesaian Jawaban: B (3/36) Analisis Mendalam: Ruang sampel 2 dadu = 36. Cari pasangan angka yang kalau dijumlah hasilnya 10: • (4, 6) • (5, 5) • (6, 4) Ada 3 pasang. Peluang = 3/36. Tutup 6. Dua Dadu (Kembar/Double) Soal: Dari pelemparan dua dadu, peluang muncul mata dadu kembar (double) adalah… 4/36 5/36 6/36 1/2 1/4 Lihat Penyelesaian Jawaban: C (6/36) Analisis Mendalam: Mata dadu kembar artinya angka dadu 1 dan dadu 2 sama. Daftar: {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}. Ada 6 kejadian. Peluang = 6/36 (atau 1/6). Tutup 7. Dua Dadu (Jumlah Kurang dari 4) Soal: Dua dadu dilempar. Peluang muncul jumlah mata dadu kurang dari 4 adalah… 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 Lihat Penyelesaian Jawaban: C (3/36) Analisis Mendalam: “Kurang dari 4” artinya jumlahnya harus 2 atau 3 (Minimal jumlah dadu adalah 2). • Jumlah 2: {(1,1)} &rightarrow; 1 pasang. • Jumlah 3: {(1,2), (2,1)} &rightarrow; 2 pasang. Total kejadian = 1 + 2 = 3. Peluang = 3/36. Tutup C. Frekuensi Harapan & Komplemen 8. Frekuensi Harapan Dadu Soal: Sebuah dadu dilempar 120 kali. Frekuensi harapan muncul mata dadu 6 adalah… 10 kali 20 kali 24 kali 30 kali 40 kali Lihat Penyelesaian Jawaban: B (20 kali) Analisis Mendalam: Frekuensi Harapan = Peluang × Banyak Percobaan. Langkah 1: Cari Peluang Peluang muncul angka 6 pada satu dadu adalah 1/6. Langkah 2: Kalikan Percobaan FH = 1/6 × 120 kali = 20 kali. Tutup 9. Peluang Komplemen (Cuaca) Soal: Peluang besok hujan adalah 0,35. Peluang besok TIDAK hujan adalah… 0,35 0,45 0,55 0,65 0,75 Lihat Penyelesaian Jawaban: D (0,65) Analisis Mendalam: Ini adalah konsep Komplemen (Lawan). Total peluang selalu 1. P(Tidak Hujan) = 1 – P(Hujan) P(Tidak Hujan) = 1 – 0,35 = 0,65. Tutup 10. Pengambilan Bola dengan Pengembalian Soal: Sebuah kantong berisi 4 bola merah, 3 kuning, 1 hijau. Diambil 1 bola, lalu dikembalikan, lalu ambil lagi. Peluang terambil merah lalu merah lagi adalah… 16/64 12/56 4/8 8/64 1/2 Lihat Penyelesaian Jawaban: A (16/64) Analisis Mendalam: Total bola = 4+3+1 = 8 bola. Kata kunci: “Dikembalikan”. Artinya kejadian kedua tidak dipengaruhi kejadian pertama (Saling Bebas). Ambilan 1 (Merah): Peluang = 4/8. Ambilan 2 (Merah): Karena bola balik lagi, Peluang tetap = 4/8. Total: (4/8) × (4/8) = 16/64. (Bisa disederhanakan jadi 1/4, tapi di opsi jawaban tersedia 16/64). Tutup

Setelah menguasai teknik memilih tim, sekarang kita masuk ke soal Kombinasi yang lebih unik: menghitung jabat tangan, garis geometri, hingga turnamen olahraga. Di bagian kedua, kita akan mulai masuk ke inti materi Teori Peluang mulai dari nol: melempar koin, dadu, hingga mengambil kartu. Daftar Isi Materi: A. Kombinasi Geometri & Interaksi (Soal 1-4) B. Peluang Dasar: Koin & Dadu (Soal 5-7) C. Peluang Pengambilan Objek & Kartu (Soal 8-10) A. Kombinasi Geometri & Interaksi Logika “Salaman” (nC2): Banyak interaksi antar dua objek (jabat tangan, garis antar titik, pertandingan catur) selalu menggunakan konsep Kombinasi 2. Kenapa? Karena A salaman dengan B sama saja dengan B salaman dengan A. 1. Membuat Garis Lurus Soal: Ada 6 titik yang letaknya tidak segaris. Berapa banyak garis lurus yang dapat dibuat dengan menghubungkan dua titik? 6 12 15 18 30 Lihat Penyelesaian Jawaban: C (15) Analisis Mendalam: Untuk membuat 1 garis, kita butuh menghubungkan 2 titik. Urutan tidak penting (Garis AB = Garis BA). Hitung 6C2: Ambil 2 angka mundur dari 6: 6 × 5 Bagi dengan 2 faktorial: 2 × 1 = 30 / 2 = 15 garis. Tutup 2. Jabat Tangan (6 Orang) Soal: Dalam sebuah pertemuan, 6 orang saling berjabat tangan. Banyak jabat tangan adalah… 10 12 15 18 30 Lihat Penyelesaian Jawaban: C (15) Analisis Mendalam: Prinsipnya sama persis dengan soal garis. Jabat tangan melibatkan 2 orang tanpa urutan. Hitung 6C2: = (6 × 5) / (2 × 1) = 30 / 2 = 15 jabat tangan. Tutup 3. Jabat Tangan (5 Orang) Soal: Dalam sebuah ruangan terdapat 5 orang yang saling berjabat tangan satu sama lain tepat satu kali. Berapa banyak jabat tangan yang terjadi? 5 10 15 20 25 Lihat Penyelesaian Jawaban: B (10) Analisis Mendalam: Ini adalah variasi soal sebelumnya dengan jumlah orang berbeda (n=5). Hitung 5C2: = (5 × 4) / (2 × 1) = 20 / 2 = 10 jabat tangan. Tutup 4. Turnamen Catur (Setengah Kompetisi) Soal: Dalam sebuah turnamen catur, ada 10 peserta. Jika setiap peserta harus bertanding satu kali melawan peserta lainnya (sistem setengah kompetisi), berapa banyak total pertandingan yang terjadi? 20 45 50 90 100 Lihat Penyelesaian Jawaban: B (45) Analisis Mendalam: Pertandingan catur melibatkan 2 orang. A lawan B sama dengan B lawan A. Jadi gunakan Kombinasi 10C2. Hitung 10C2: = (10 × 9) / (2 × 1) = 90 / 2 = 45 pertandingan. Tutup B. Peluang Dasar: Koin & Dadu Rumus Dasar Peluang: $$P(K) = frac{n(K)}{n(S)}$$ n(K): Banyak kejadian yang diinginkan (Target). n(S): Total semua kemungkinan (Ruang Sampel). 5. Peluang Satu Koin Soal: Sebuah koin dilempar sekali. Peluang muncul angka adalah… 1/4 1/3 1/2 2/3 3/4 Lihat Penyelesaian Jawaban: C (1/2) Analisis Mendalam: Ruang Sampel n(S): Koin punya 2 sisi (Angka, Gambar). Jadi n(S) = 2. Kejadian n(K): Muncul “Angka” hanya ada 1 sisi. Jadi n(K) = 1. Peluang = 1/2. Tutup 6. Dadu Mata Ganjil Soal: Sebuah dadu dilempar sekali. Peluang muncul mata dadu ganjil adalah… 1/6 1/3 1/2 2/3 5/6 Lihat Penyelesaian Jawaban: C (1/2) Analisis Mendalam: Ruang Sampel n(S): Dadu punya 6 sisi {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Jadi n(S) = 6. Target n(K): Mata ganjil adalah {1, 3, 5}. Ada 3 angka. Peluang = 3/6 = 1/2. Tutup 7. Dadu Mata Prima Soal: Sebuah dadu dilempar. Peluang muncul mata dadu prima adalah… 1/6 1/3 1/2 2/3 5/6 Lihat Penyelesaian Jawaban: C (1/2) Analisis Mendalam: Ruang Sampel n(S): Tetap 6. Target n(K): Bilangan prima di dadu adalah {2, 3, 5}. (Ingat: 1 bukan prima!). Ada 3 angka. Peluang = 3/6 = 1/2. Tutup C. Peluang Pengambilan Objek & Kartu 8. Pengambilan Bola Warna Soal: Dalam kantong ada 5 bola merah dan 3 bola biru. Peluang terambil bola merah adalah… 3/8 5/8 1/2 3/5 5/3 Lihat Penyelesaian Jawaban: B (5/8) Analisis Mendalam: Total Bola n(S): 5 Merah + 3 Biru = 8 bola. Target n(K): Bola Merah ada 5. Peluang = 5/8. Tutup 9. Bola Bernomor (Kelipatan 3) Soal: Sebuah kotak berisi 10 bola bernomor 1-10. Peluang terambil bola nomor kelipatan 3 adalah… 1/10 2/10 3/10 4/10 5/10 Lihat Penyelesaian Jawaban: C (3/10) Analisis Mendalam: Total Bola n(S): Ada 10 bola. Target n(K): Kelipatan 3 dari 1 sampai 10 adalah {3, 6, 9}. Ada 3 bola. Peluang = 3/10. Tutup 10. Kartu Bridge (Kartu As) Soal: Dari setumpuk kartu Bridge (52 kartu), peluang terambil kartu AS adalah… 1/52 4/52 13/52 26/52 1/2 Lihat Penyelesaian Jawaban: B (4/52 atau 1/13) Analisis Mendalam: Total Kartu n(S): 52 kartu. Target n(K): Kartu AS ada 4 jenis (Sekop, Hati, Keriting, Wajik). Jadi ada 4 kartu. Peluang = 4/52 (Bisa disederhanakan jadi 1/13). Tutup

Jika di artikel sebelumnya kita belajar bahwa “Urutan itu Penting” (Permutasi), sekarang kita masuk ke dunia yang lebih santai: Kombinasi. Di sini, urutan AB dianggap sama dengan BA. Cocok untuk kasus memilih tim, mencampur warna cat, atau mengambil lauk makan siang. Daftar Isi Materi: A. Latihan Lagi: Permutasi (Urutan Penting) (Soal 1-3) B. Masuk ke Kombinasi (Tim & Kelompok) (Soal 4-5) C. Kombinasi Benda & Makanan (Soal 6-8) D. Kombinasi Warna & Objek Acak (Soal 9-10) A. Latihan Lagi: Permutasi (Urutan Penting) Review Singkat: Sebelum masuk ke Kombinasi, pastikan kamu masih ingat Permutasi. Ciri utamanya: Ada jabatan (Ketua/Sekretaris), peringkat (Juara 1/2), atau posisi angka (78 beda dengan 87). 1. Membuat Plat Nomor Soal: Akan dibuat plat nomor yang terdiri dari 2 angka berbeda dari angka 7, 8, dan 9. Sebutkan dan hitung banyaknya! 3 5 6 9 12 Lihat Penyelesaian Jawaban: C (6) Analisis Mendalam: Plat nomor “78” jelas berbeda dengan “87”. Karena urutan dibedakan, ini adalah Permutasi. Cara Slot (Filling Slots): • Angka Depan: Ada 3 pilihan (7, 8, 9). • Angka Belakang: Sisa 2 pilihan. Total = 3 × 2 = 6 susunan. Tutup 2. Juara Lomba Pidato Soal: Dari 7 peserta lomba pidato, akan ditentukan Juara I, Juara II, dan Juara Harapan. Berapa banyak kemungkinan susunan pemenang? 35 120 210 343 840 Lihat Penyelesaian Jawaban: C (210) Analisis Mendalam: Ada status “Juara”. Si A juara 1 tentu beda rasanya dengan si A juara Harapan. Urutan penting = Permutasi. Hitungan: (Juara I) × (Juara II) × (Juara Harapan) = 7 × 6 × 5 = 210 kemungkinan. Tutup 3. Memilih Ketua dan Sekretaris Soal: Dari 5 siswa akan dipilih Ketua dan Sekretaris. Banyak cara memilih adalah… 10 15 20 25 60 Lihat Penyelesaian Jawaban: C (20) Analisis Mendalam: Jabatan spesifik (Ketua & Sekretaris) menandakan urutan diperhatikan. Cara: 5 (calon ketua) × 4 (calon sekretaris) = 20 cara. Tutup B. Masuk ke Kombinasi (Tim & Kelompok) Konsep Kunci (Kombinasi): Gunakan rumus Kombinasi (C) jika urutan TIDAK diperhatikan. Contoh: Memilih 2 orang untuk mewakili kelompok. (Tim A&B sama saja dengan Tim B&A). Rumus Cepat (nCk): Hitung mundur angka atas sebanyak k, lalu bagi dengan faktorial k. 4. Perwakilan Kelompok Belajar Soal: Dari 4 siswa (A, B, C, D), akan dipilih 2 orang untuk mewakili kelompok belajar. Berapa banyak pasang tim yang mungkin? 4 6 8 12 16 Lihat Penyelesaian Jawaban: B (6) Analisis Mendalam: Apakah “Tim AB” beda dengan “Tim BA”? Tidak, orangnya sama. Maka ini Kombinasi. Hitungan (4C2): Ambil 2 angka mundur dari 4: 4 × 3 Bagi dengan 2 faktorial: 2 × 1 Hasil = (12) / 2 = 6 pasang. Tutup 5. Tim Lomba Cerdas Cermat Soal: Dari 8 siswa berprestasi, sekolah hanya akan memilih 2 siswa untuk dikirim mengikuti lomba cerdas cermat sebagai satu tim. Berapa banyak cara memilihnya? 16 28 36 56 64 Lihat Penyelesaian Jawaban: B (28) Analisis Mendalam: Kata kuncinya: “sebagai satu tim”. Tidak ada jabatan ketua/anggota, semua setara. Gunakan Kombinasi 8C2. Hitungan: Atas: 8 × 7 (Mundur 2 langkah) Bawah: 2 × 1 = 56 / 2 = 28 cara. Tutup C. Kombinasi Benda & Makanan 6. Menghias Kado dengan Pita Soal: Siska memiliki 4 warna pita berbeda. Ia ingin menggunakan 2 warna pita untuk menghias kado. Berapa banyak pasangan warna yang bisa ia gunakan? 4 6 8 10 12 Lihat Penyelesaian Jawaban: B (6) Analisis Mendalam: Memilih “Merah & Biru” sama saja dengan “Biru & Merah” untuk hiasan kado. Urutan tidak pengaruh. Hitung 4C2: = (4 × 3) / (2 × 1) = 12 / 2 = 6 pasangan warna. Tutup 7. Kombinasi Rasa Donat Soal: Di sebuah toko ada 5 rasa donat. Ibu ingin membeli 2 donat dengan rasa yang berbeda. Berapa banyak kombinasi rasa yang bisa ibu pilih? 5 10 15 20 25 Lihat Penyelesaian Jawaban: B (10) Analisis Mendalam: Ibu membeli Coklat dan Keju, sama saja dengan membeli Keju dan Coklat. Kantong belanjanya sama. Hitung 5C2: = (5 × 4) / (2 × 1) = 20 / 2 = 10 kombinasi. Tutup 8. Memilih Lauk di Warung Soal: Sebuah warung menyediakan 5 jenis lauk. Jika seorang pelanggan ingin membeli 3 jenis lauk sekaligus dalam satu bungkus, berapa banyak kombinasi lauk yang bisa dipilih? 5 10 15 20 60 Lihat Penyelesaian Jawaban: B (10) Analisis Mendalam: Lauk dicampur dalam satu bungkus, urutan masuk tidak penting. Gunakan Kombinasi 5C3. Trik Hemat Hitung: Memilih 3 dari 5 (5C3) itu hasilnya SAMA dengan membuang 2 dari 5 (5C2). 5C3 = 5C2. = (5 × 4) / (2 × 1) = 20 / 2 = 10 cara. Tutup D. Kombinasi Warna & Objek Acak 9. Mencampur Warna Cat Soal: Seorang pelukis memiliki 3 warna dasar (Merah, Kuning, Biru). Jika ia mencampurkan 2 warna dengan porsi yang sama, berapa banyak warna baru yang bisa dihasilkan? 2 3 4 5 6 Lihat Penyelesaian Jawaban: B (3) Analisis Mendalam: Pencampuran cat adalah contoh klasik Kombinasi. Merah+Kuning hasilnya sama dengan Kuning+Merah (Oranye). Hitung 3C2: = (3 × 2) / (2 × 1) = 6 / 2 = 3 warna baru. (Warna barunya: Oranye, Ungu, Hijau). Tutup 10. Mengambil Bola Sekaligus Soal: Dalam kantong ada 4 bola (Merah, Hijau, Kuning, Putih). Jika diambil 2 bola sekaligus secara acak, berapa banyak pasangan warna yang mungkin muncul? 4 6 8 10 12 Lihat Penyelesaian Jawaban: B (6) Analisis Mendalam: Kata kuncinya: “Diambil Sekaligus”. Ini berarti urutan tidak ada (Kombinasi). Hitung 4C2: = (4 × 3) / (2 × 1) = 12 / 2 = 6 kemungkinan pasangan. Tutup

Sering bingung bedanya “memilih” dengan “menyusun”? Di artikel ini, kita akan membongkar logika dasar menghitung peluang (Bagian 1). Kita mulai dari 10 soal fondasi: menyusun pengurus kelas, menebak PIN HP, hingga mengatur posisi duduk melingkar. Kuncinya satu: Perhatikan Urutannya! Daftar Isi Materi: A. Aturan Perkalian (Filling Slots) (Soal 1-3) B. Faktorial & Susunan Benda (Soal 4-6) C. Permutasi Jabatan & Posisi (Soal 7-9) D. Permutasi Siklis (Melingkar) (Soal 10) A. Aturan Perkalian (Filling Slots) Konsep Kunci: Jika ada kegiatan A yang bisa dilakukan dengan m cara, dan kegiatan B dengan n cara, maka total cara untuk melakukan keduanya sekaligus adalah m × n. 1. Pasangan Baju dan Celana Soal: Ada 3 baju dan 2 celana berbeda. Banyak pasangan pakaian adalah… 5 6 8 9 12 Lihat Penyelesaian Jawaban: B (6) Analisis Mendalam: Kita ingin memasangkan Baju DAN Celana. Kata “dan” dalam peluang biasanya berarti dikali. Langkah Hitung: Total = (Pilihan Baju) × (Pilihan Celana) Total = 3 × 2 = 6 pasangan gaya berbeda. Tutup 2. Nomor Antrean Bank Soal: Sebuah bank menyediakan nomor antrean yang terdiri dari satu huruf (A atau B) diikuti oleh satu angka (1 sampai 9). Berapa banyak nomor antrean yang bisa dibuat? 11 18 20 27 36 Lihat Penyelesaian Jawaban: B (18) Analisis Mendalam: Kita siapkan dua kotak kosong: [Huruf] [Angka]. Langkah 1: Kotak Huruf Hanya boleh A atau B. Berarti ada 2 pilihan. Langkah 2: Kotak Angka Angka 1 sampai 9. Berarti ada 9 pilihan. Total Antrean = 2 × 9 = 18 nomor antrean. Tutup 3. Membuat Password Loker Soal: Seorang siswa ingin membuat password loker yang terdiri dari 2 huruf vokal berbeda (A, I, U, E, O). Berapa banyak password yang bisa dibuat? 10 20 25 32 60 Lihat Penyelesaian Jawaban: B (20) Analisis Mendalam: Huruf vokal ada 5: {A, I, U, E, O}. Syarat penting: 2 huruf berbeda (tidak boleh AA, II, dst). Langkah 1: Huruf Pertama Kita bebas memilih dari 5 huruf. (5 opsi). Langkah 2: Huruf Kedua Karena 1 huruf sudah dipakai di depan, sisa pilihannya tinggal 4. (4 opsi). Total = 5 × 4 = 20 password. Tutup B. Faktorial & Susunan Benda 4. Menyusun Buku Berjejer Soal: Di atas meja ada 3 buku berbeda (Matematika, IPA, Bahasa). Jika Andi ingin menyusun buku tersebut secara berjejer, berapa banyak susunan yang bisa dibuat? 3 6 9 12 27 Lihat Penyelesaian Jawaban: B (6) Analisis Mendalam: Jika kita menyusun semua benda yang ada (3 buku ke 3 posisi), kita gunakan rumus Faktorial (!). Rumus: 3! (3 faktorial) = 3 × 2 × 1 = 6 susunan. Tutup 5. Menyusun Kata “BISA” Soal: Berapa banyak susunan kata berbeda yang dapat dibentuk dari huruf-huruf pada kata “BISA”? 4 12 16 24 48 Lihat Penyelesaian Jawaban: D (24) Analisis Mendalam: Kata “BISA” terdiri dari 4 huruf yang semuanya berbeda (B, I, S, A). Kita diminta mengacak/menyusun ulang ke-4 huruf tersebut. Rumus: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 kata. Tutup 6. Barisan Foto Siswa Soal: Ada 5 siswa yang akan berbaris secara memanjang untuk difoto. Berapa banyak posisi barisan yang mungkin? 5 25 60 100 120 Lihat Penyelesaian Jawaban: E (120) Analisis Mendalam: Prinsipnya sama dengan menyusun buku atau menyusun huruf. Kita menyusun 5 orang di 5 tempat berjejer. Rumus: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 posisi. Tutup C. Permutasi Jabatan & Posisi 7. Pemilihan Pengurus Kelas Soal: Dalam sebuah kelas akan dipilih Ketua dan Wakil Ketua dari 5 orang kandidat. Berapa banyak susunan pengurus yang mungkin terbentuk? 10 15 20 25 120 Lihat Penyelesaian Jawaban: C (20) Analisis Mendalam: Kita punya 2 kursi kosong: [Ketua] dan [Wakil]. Urutan penting karena Ketua beda dengan Wakil. Langkah 1: Isi Kursi Ketua Ada 5 orang kandidat yang berebut kursi ini. Langkah 2: Isi Kursi Wakil Karena 1 orang sudah jadi Ketua, maka sisanya tinggal 4 orang untuk posisi Wakil. Hitungan: Total cara = 5 × 4 = 20 cara. Tutup 8. Membuat PIN HP Soal: Budi ingin membuat PIN HP yang terdiri dari 3 angka berbeda menggunakan angka 1, 2, 3, dan 4. Berapa banyak PIN yang bisa dibuat? 12 24 36 48 64 Lihat Penyelesaian Jawaban: B (24) Analisis Mendalam: PIN HP memperhatikan urutan (123 beda dengan 321). Kita pilih 3 dari 4 angka. Langkah 1: Angka Pertama Tersedia 4 pilihan (1, 2, 3, 4). (4). Langkah 2: Angka Kedua Satu angka sudah dipakai, sisa: 3. Langkah 3: Angka Ketiga Dua angka sudah dipakai, sisa: 2. Total: 4 × 3 × 2 = 24 PIN. Tutup 9. Posisi Juara Lari Soal: Ada 6 pelari yang memperebutkan medali Emas, Perak, dan Perunggu. Berapa banyak kemungkinan posisi juara yang terjadi? 20 60 120 216 720 Lihat Penyelesaian Jawaban: C (120) Analisis Mendalam: Ini konsep perebutan 3 posisi (Emas, Perak, Perunggu) dari 6 orang. Logika Slot: • Juara Emas: Diperebutkan 6 pelari. • Juara Perak: Sisa 5 pelari (yang emas tidak mungkin perak). • Juara Perunggu: Sisa 4 pelari. Total = 6 × 5 × 4 = 120 kemungkinan. Tutup D. Permutasi Siklis (Melingkar) 10. Duduk Melingkar Soal: Ada 4 orang akan duduk melingkar. Berapa banyak susunan yang mungkin? 4 6 12 24 48 Lihat Penyelesaian Jawaban: B (6) Analisis Mendalam: Hati-hati! Ini bukan barisan lurus, tapi Melingkar (Siklis). Dalam lingkaran, posisi awal dan akhir saling bertemu, jadi kita harus “mengunci” 1 orang sebagai patokan. Rumus Siklis: (n – 1)! Jumlah orang (n) = 4. Maka: (4 – 1)! = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 susunan. Tutup

Bingung kenapa fungsi harus dibalik-balik? Artikel ini mengajakmu memahami logika di balik Fungsi Komposisi dengan struktur langkah demi langkah. Pelajari cara kerja “mesin” fungsi, mulai dari himpunan pasangan, operasi aljabar, hingga studi kasus pabrik dan pajak. Daftar Isi Materi: A. Komposisi Himpunan Pasangan (Soal 1-2) B. Operasi Aljabar Fungsi (Soal 3-5) C. Soal Cerita: Pabrik & Software (Soal 6-7) D. Analisis Variabel Lanjutan (Soal 8-10) A. Komposisi Himpunan Pasangan 1. Analisis Himpunan Pasangan Berurutan Diketahui tiga buah fungsi: f = {(1,2), (2,4), (3,6), (4,8)} g = {(2,7), (4,5), (6,3), (8,1)} h = {(7,10), (5,20), (3,30), (1,40)} 1a. Menentukan Himpunan (g ∘ f) Soal: Tentukan Himpunan pasangan berurutan (g ∘ f)! {(1,7), (2,5), (3,3), (4,1)} {(1,5), (2,7), (3,1), (4,3)} {(2,2), (4,4), (6,6), (8,8)} {(1,10), (2,20), (3,30), (4,40)} {(1,2), (2,5), (3,3), (4,7)} Lihat Penyelesaian Jawaban: A Analisis Mendalam: Konsep Dasar: Fungsi komposisi (g ∘ f) bekerja seperti lari estafet. Fungsi f berlari duluan, lalu tongkatnya (output) diserahkan ke fungsi g. Mari kita telusuri jejaknya: 1. Ambil input 1 masuk ke f, keluar angka 2. Lalu angka 2 ini masuk ke g, keluar angka 7. → Pasangan Akhir: (1, 7). 2. Ambil input 2 masuk ke f, keluar angka 4. Lalu angka 4 ini masuk ke g, keluar angka 5. → Pasangan Akhir: (2, 5). 3. Ambil input 3 masuk ke f, keluar angka 6. Angka 6 masuk ke g jadi 3. → Pasangan Akhir: (3, 3). 4. Ambil input 4 masuk ke f, keluar angka 8. Angka 8 masuk ke g jadi 1. → Pasangan Akhir: (4, 1). Kesimpulan: Kita hanya mengambil (Input Awal, Output Akhir). Tutup 1b. Menentukan Nilai Komposisi Tiga Fungsi Soal: Tentukan Nilai dari (h ∘ g ∘ f)(2)! 10 20 30 40 50 Lihat Penyelesaian Jawaban: B (20) Analisis Mendalam: Ini adalah estafet tiga pos. Jangan bingung, kerjakan dari yang paling dalam (paling kanan). Langkah 1: Pos Pertama (Fungsi f) Inputnya 2. Lihat himpunan f: pasangan (2, 4). Hasil sementara = 4. Langkah 2: Pos Kedua (Fungsi g) Sekarang 4 menjadi input. Lihat himpunan g: pasangan (4, 5). Hasil sementara = 5. Langkah 3: Pos Terakhir (Fungsi h) Sekarang 5 menjadi input. Lihat himpunan h: pasangan (5, 20). Hasil Akhir = 20. Tutup 1c. Analisis Kemungkinan Komposisi Soal: Apakah (f ∘ g) bisa dikerjakan? Jelaskan alasannya. Bisa, karena kedua fungsi memiliki anggota himpunan. Bisa, hasilnya adalah {(2,2), (4,4)}. Tidak, karena Range g tidak beririsan dengan Domain f. Tidak, karena jumlah anggota himpunan berbeda. Mungkin bisa jika domain diperluas. Lihat Penyelesaian Jawaban: C Analisis Mendalam: Logika Koneksi: Agar komposisi (f ∘ g) berhasil, Output dari g (Range) harus bisa diterima di pintu masuk f (Domain). Cek Data: • Output g (Hasil keluaran) adalah: {7, 5, 3, 1}. • Input f (Pintu masuk) hanya menerima: {1, 2, 3, 4}. Analisis: Perhatikan angka 7 dan 5 dari output g. Apakah ada pintu masuknya di f? Tidak ada. Penumpang nomor 7 dan 5 “terlantar” karena fungsi f tidak punya definisi untuk angka tersebut. Karena ada data yang putus, maka komposisi ini Tidak Dapat Didefinisikan (Tidak Bisa). Tutup 2. Aplikasi Belanja Online Bayangkan sebuah proses belanja online: Fungsi A (ID barang ke harga): A = {(101, 50.000), (102, 100.000), (103, 150.000)} Fungsi B (harga ke biaya pajak 10%): B = {(50.0000, 5.000), (100.000, 10.000), (150.000, 15.000)} 2a. Menentukan Fungsi Pajak Langsung Soal: Tentukan Himpunan pasangan berurutan (B ∘ A) yang memetakan ID barang langsung ke biaya pajak! {(101, 5.000), (102, 10.000), (103, 15.000)} {(5.000, 101), (10.000, 102), (15.000, 103)} {(101, 50.000), (102, 100.000), (103, 150.000)} {(50.000, 101), (100.000, 102), (150.000, 103)} {(101, 5.500), (102, 11.000), (103, 16.500)} Lihat Penyelesaian Jawaban: A Analisis Mendalam: Soal ini meminta kita “memotong jalur birokrasi”. Daripada harus cek ID → cek Harga → hitung Pajak, kita ingin rumus langsung: ID → Pajak. Proses Mapping: • Barang 101 harganya 50rb. Pajak 50rb adalah 5.000. (Hubungan langsung: 101 → 5.000). • Barang 102 harganya 100rb. Pajak 100rb adalah 10.000. (Hubungan langsung: 102 → 10.000). • Barang 103 harganya 150rb. Pajak 150rb adalah 15.000. (Hubungan langsung: 103 → 15.000). Tutup 2b. Interpretasi Nilai Fungsi Soal: Apa arti dari (B ∘ A)(102) dalam konteks cerita ini? Harga barang dengan ID 102 adalah Rp100.000. Pajak yang harus dibayar untuk barang ID 102 adalah Rp10.000. Total bayar (harga + pajak) untuk barang ID 102. ID barang yang memiliki pajak Rp100.000. Keuntungan penjualan barang ID 102. Lihat Penyelesaian Jawaban: B Analisis Mendalam: Mari kita bedah simbolnya: • Inputnya adalah 102 (Ini adalah Kode Barang). • Output akhirnya, setelah melewati fungsi B, adalah dalam satuan Rupiah Pajak (karena fungsi B adalah penghitung pajak). Jadi, fungsi ini menjawab pertanyaan: “Berapa pajak yang harus saya bayar jika saya membeli barang nomor 102?”. Jawabannya adalah nominal pajak tersebut. Tutup B. Operasi Aljabar Fungsi Komposisi 3. Menentukan Persamaan (g ∘ f)(x) Soal: Diketahui fungsi f(x) = 2×2 – 3 dan g(x) = 1 – 4x. Tentukan persamaan fungsi (g ∘ f)(x)! -8×2 + 13 -8×2 – 11 8×2 – 11 8×2 + 13 -8×2 + 12 Lihat Penyelesaian Jawaban: A (-8×2 + 13) Analisis Mendalam: Konsep “Wadah Kosong”: Fungsi g(x) = 1 – 4x. Anggaplah huruf ‘x’ di situ adalah sebuah wadah kosong yang siap diisi apa saja. Jadi, g(…) = 1 – 4(…). Langkah Eksekusi: 1. Siapkan wadah fungsi luar (g): 1 – 4(…) 2. Masukkan fungsi dalam (f) ke wadah tersebut: 1 – 4(2×2 – 3) 3. Hati-hati! Distribusi Perkalian (Kali Pelangi): Angka -4 harus dikalikan ke semua yang ada di dalam kurung. • -4 dikali 2×2 = -8×2 • -4 dikali -3 = +12 (Ingat: min kali min jadi plus!). 4. Gabungkan: 1 – 8×2 + 12 = -8×2 + 13. Tutup 4. Operasi Nilai Fungsi Soal: Diketahui f(x) = x2 + 3 dan g(x) = 2/x, x ≠ 0. Hitunglah hasil dari (f ∘ g)(2) – (g ∘ f)(1)! 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 Lihat Penyelesaian Jawaban: C (3,5) Analisis Mendalam: Soal ini menguji ketelitian kita menghitung dua jalur berbeda. Jalur Kiri (f ∘ g)(2): “Masukkan 2 ke g, hasilnya lempar ke f” • g(2)