Kumpulan soal latihan untuk mengasah kemampuan berhitung, logika peluang, dan pemahaman sifat-sifat bilangan.
A. Latihan Soal Kombinatorika
1. Susunan Pengurus OSIS
Dari 8 anggota OSIS, akan dipilih seorang Ketua, seorang Wakil Ketua, dan seorang Sekretaris. Ada berapa banyak susunan pengurus yang mungkin terbentuk?
Penyelesaian:
Karena urutan jabatan diperhatikan (Ketua \(\neq\) Wakil), gunakan Permutasi \(P(n, r)\).
$$P(8, 3) = \frac{8!}{(8-3)!} = 8 \times 7 \times 6 = 336$$Jadi, ada 336 susunan pengurus.
2. Membentuk Bilangan 3 Digit
Dari angka-angka {2, 3, 5, 7, 8}, akan dibentuk bilangan 3-digit berbeda (tidak ada angka berulang). Berapa banyak bilangan yang bisa terbentuk?
Penyelesaian:
Gunakan aturan pengisian tempat (Filling Slots):
- Ratusan: 5 pilihan
- Puluhan: 4 pilihan (sisa)
- Satuan: 3 pilihan (sisa)
Jadi, ada 60 bilangan.
3. Foto Bersama
Empat orang siswa (Adi, Budi, Caca, Doni) akan berfoto bersama dalam satu baris. Ada berapa banyak susunan foto yang berbeda?
Penyelesaian:
Menyusun n objek berbeda dalam satu baris adalah \(n!\).
$$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$Jadi, ada 24 susunan foto.
4. Susunan Kata (Permutasi Unsur Sama)
Berapa banyak susunan kata berbeda yang dapat dibentuk dari huruf-huruf pada kata "MATEMATIKA"?
Penyelesaian:
Total huruf (n) = 10. Huruf kembar: M=2, A=3, T=2.
$$P = \frac{10!}{2! \cdot 3! \cdot 2!} = \frac{3.628.800}{2 \cdot 6 \cdot 2}$$ $$P = \frac{3.628.800}{24} = 151.200$$Jadi, ada 151.200 susunan kata.
5. Meja Bundar (Permutasi Siklis)
Sebuah keluarga terdiri dari Ayah, Ibu, dan 4 orang anak (Total 6 orang) makan malam di meja bundar. Berapa banyak susunan duduk jika Ayah dan Ibu harus selalu duduk berdampingan?
Penyelesaian:
Anggap (Ayah & Ibu) sebagai 1 paket. Maka objek yang disusun adalah: 1 paket + 4 anak = 5 objek.
Permutasi siklis 5 objek: \((5-1)! = 4! = 24\).
Posisi internal Ayah & Ibu bisa bertukar: \(2! = 2\).
$$\text{Total} = 24 \times 2 = 48$$Jadi, ada 48 cara.
6. Memilih Tim Cerdas Cermat
Dari 10 siswa di kelas, akan dipilih 3 siswa untuk menjadi tim cerdas cermat. Ada berapa banyak cara memilih tim tersebut?
Penyelesaian:
Urutan tidak diperhatikan (Tim ABC sama dengan Tim CBA), gunakan Kombinasi.
$$C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$$Jadi, ada 120 cara.
7. Jabat Tangan
Dalam sebuah pertemuan, hadir 12 orang. Jika setiap orang saling berjabat tangan satu sama lain, berapa banyak jabat tangan yang terjadi?
Penyelesaian:
Jabat tangan melibatkan 2 orang tanpa urutan.
$$C(12, 2) = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = 66$$Jadi, terjadi 66 jabat tangan.
8. Membentuk Panitia Campuran
Sebuah panitia akan dibentuk, terdiri dari 2 Pria dan 2 Wanita. Jika terdapat 5 Pria dan 6 Wanita yang menjadi calon, berapa banyak cara membentuk panitia tersebut?
Penyelesaian:
Pilih 2 Pria dari 5: \(C(5,2) = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10\).
Pilih 2 Wanita dari 6: \(C(6,2) = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15\).
$$\text{Total} = 10 \times 15 = 150$$Jadi, ada 150 cara.
9. Peluang Pengambilan Kelereng
Dalam sebuah kantong terdapat 6 kelereng merah dan 4 kelereng biru. Akan diambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Berapa banyak cara mengambil 2 kelereng merah DAN 1 kelereng biru?
Penyelesaian:
Ambil 2 Merah dari 6: \(C(6,2) = 15\).
Ambil 1 Biru dari 4: \(C(4,1) = 4\).
$$\text{Total Cara} = 15 \times 4 = 60$$Jadi, ada 60 cara.
10. Kombinasi Rasa Es Krim (Repetisi)
Sebuah kedai es krim memiliki 5 pilihan rasa. Seseorang ingin membeli 3 scoop es krim (rasa boleh sama). Berapa banyak kombinasi rasa yang bisa ia beli?
Penyelesaian:
Gunakan rumus Kombinasi dengan Pengulangan \(C(n+r-1, r)\).
\(n=5\) (rasa), \(r=3\) (scoop).
$$C(5+3-1, 3) = C(7, 3)$$ $$C(7, 3) = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$$Jadi, ada 35 kombinasi rasa.
B. Latihan Soal Teori Bilangan
1. Membagi Kue (FPB)
Bu Endang memiliki 36 kue lapis dan 48 kue bolu. Ia ingin menempatkan kue-kue tersebut ke dalam kotak parsel dengan jumlah yang sama rata. Berapa jumlah kotak terbanyak yang bisa disiapkan?
Penyelesaian:
Cari FPB (Faktor Persekutuan Terbesar) dari 36 dan 48.
- \(36 = 12 \times 3\)
- \(48 = 12 \times 4\)
FPB adalah 12.
Jadi, kotak terbanyak adalah 12 kotak.
2. Lampu Merah (KPK)
Lampu A menyala setiap 15 detik, lampu B setiap 18 detik. Jika menyala bersama pukul 07:15:00, pukul berapa menyala bersama lagi pertama kali?
Penyelesaian:
Cari KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) dari 15 dan 18.
- \(15 = 3 \times 5\)
- \(18 = 2 \times 3^2\)
90 detik = 1 menit 30 detik.
Waktu = 07:15:00 + 00:01:30 = 07:16:30.
3. Uji Keterbagian 9
Diketahui bilangan 5-digit 49A13. Jika bilangan tersebut habis dibagi 9, tentukan nilai A!
Penyelesaian:
Syarat habis dibagi 9: Jumlah digit-digitnya harus habis dibagi 9.
$$4 + 9 + A + 1 + 3 = 17 + A$$Kelipatan 9 terdekat setelah 17 adalah 18.
$$17 + A = 18 \rightarrow A = 1$$Jadi, nilai A adalah 1.
4. Modulo Hari
Hari ini adalah hari Kamis. Hari apakah 150 hari lagi?
Penyelesaian:
Satu minggu ada 7 hari. Cari sisa pembagian 150 dengan 7.
$$150 \div 7 = 21 \text{ sisa } 3$$Hitung 3 hari setelah Kamis: Jumat, Sabtu, Minggu.
Jadi, 150 hari lagi adalah hari Minggu.
5. Uji Keterbagian 3
Tentukan satu angka A (dari 0-9) yang bisa menggantikan huruf A agar bilangan 51A3 habis dibagi 3.
Penyelesaian:
Syarat habis dibagi 3: Jumlah digit harus habis dibagi 3.
$$5 + 1 + A + 3 = 9 + A$$Agar \((9+A)\) habis dibagi 3, nilai A yang mungkin adalah:
- \(A = 0 \rightarrow 9\) (Habis)
- \(A = 3 \rightarrow 12\) (Habis)
- \(A = 6 \rightarrow 15\) (Habis)
- \(A = 9 \rightarrow 18\) (Habis)
Jadi, A bisa bernilai 0, 3, 6, atau 9.
6. Membagi Kelompok (FPB)
Guru olahraga memiliki 24 bola basket dan 30 bola voli. Ia ingin membagi siswa menjadi kelompok dengan jumlah bola yang sama rata. Berapa jumlah kelompok terbanyak?
Penyelesaian:
Cari FPB dari 24 dan 30.
- \(24 = 6 \times 4\)
- \(30 = 6 \times 5\)
FPB adalah 6.
Jadi, jumlah kelompok terbanyak adalah 6 kelompok.
7. Jadwal Latihan (KPK)
Budi berlatih 4 hari sekali, Tono 6 hari sekali. Jika hari ini berlatih bersama, berapa hari lagi mereka akan berlatih bersama?
Penyelesaian:
Cari KPK dari 4 dan 6.
- Kelipatan 4: 4, 8, 12, ...
- Kelipatan 6: 6, 12, ...
KPK adalah 12.
Jadi, mereka akan berlatih bersama 12 hari lagi.