Pernahkah kamu menemukan soal matriks yang di dalamnya tiba-tiba terselip logaritma dan pangkat eksponen? Jangan panik dulu! Artikel ini akan mengajakmu memahami logika mendalam cara memecahkan kombinasi mematikan tersebut.
Siapkan alat tulismu, mari kita bedah 5 soal Kesamaan Matriks tingkat HOTS secara langkah demi langkah!
Daftar Isi Materi:
Soal 1: Kesamaan Matriks & Eksponen Dasar
1. Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix} 2^{x+1} & 4 \\ 1 & 9^y \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} 32 & 1 \\ 4 & 27 \end{pmatrix}$. Jika $A = B^T$, tentukan nilai $x$ dan $y$!
Latihan Interaktif Tahap 1: Klik dua angka pada matriks B di bawah ini untuk menukar posisinya menjadi matriks Transpos ($B^T$)!
Tahap 1 Berhasil! Matriks sudah ditranspos.
Tahap 2: Samakan posisi elemen matriks untuk mencari nilai $x$ dan $y$.
$2^{x+1} = 32 \implies x = $
$9^y = 27 \implies y = $
Langkah 1: Transposkan Matriks B
$\begin{pmatrix} \color{blue}{32} & \color{blue}{1} \\ \color{e67e22}{4} & \color{e67e22}{27} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} \color{blue}{32} & \color{e67e22}{4} \\ \color{blue}{1} & \color{e67e22}{27} \end{pmatrix}$
Syarat utamanya adalah $A = B^T$. Ubah baris matriks B menjadi kolom.
$B^T = \begin{pmatrix} 32 & 4 \\ 1 & 27 \end{pmatrix}$
Langkah 2: Samakan Posisi Elemen untuk Mencari x
Elemen baris 1 kolom 1 ($a_{11}$):
$2^{x+1} = 32$
Ubah 32 menjadi basis 2:
$2^{x+1} = 2^5$
Karena basis sudah sama, turunkan pangkatnya:
$x + 1 = 5$
$x = 5 - 1 = \mathbf{4}$
Langkah 3: Samakan Posisi Elemen untuk Mencari y
Elemen baris 2 kolom 2 ($a_{22}$):
$9^y = 27$
Ubah 9 dan 27 ke basis 3:
$(3^2)^y = 3^3$
$3^{2y} = 3^3$
Turunkan pangkatnya:
$2y = 3 \implies \mathbf{y = \frac{3}{2}}$
Soal 2: Kesamaan Matriks & Sifat Logaritma
2. Diketahui matriks $P = \begin{pmatrix} ^2\log_a & ^3\log_{81} \\ 1 & ^5\log_b \end{pmatrix}$ dan $Q = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$. Jika $P = Q^T$, tentukan nilai $a$ dan $b$!
Langkah 1: Transposkan Matriks Q
$Q^T = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$
Langkah 2: Cari Nilai a
Samakan elemen posisi (1,1):
$^2\log a = 3$
Ubah ke bentuk eksponen ($basis^{hasil} = numerus$):
$2^3 = a \implies \mathbf{a = 8}$
Langkah 3: Cari Nilai b
Samakan elemen posisi (2,2):
$^5\log b = 2$
Ubah ke bentuk eksponen:
$5^2 = b \implies \mathbf{b = 25}$
Soal 3: Mencari Hubungan Dua Variabel
3. Jika $\begin{pmatrix} ^a\log_b & 2 \\ 1 & 3^x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 81 \end{pmatrix}^T$, tentukan hubungan antara nilai $x$ dan $b$ jika $a = 3$!
Langkah 1: Transposkan Matriks Ruas Kanan
$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 81 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 81 \end{pmatrix}$
Langkah 2: Cari Nilai b dengan Substitusi a
Samakan elemen posisi (1,1):
$^a\log b = 2$
Substitusikan nilai $a = \color{red}{3}$:
$^3\log b = 2$
$3^2 = b \implies \mathbf{b = 9}$
Langkah 3: Cari Nilai x
Samakan elemen posisi (2,2):
$3^x = 81$
$3^x = 3^4 \implies \mathbf{x = 4}$
Kesimpulan Hubungan:
Nilai spesifik yang terbentuk dari persamaan tersebut adalah $\mathbf{x = 4}$ dan $\mathbf{b = 9}$.
Soal 4: Analisis Substitusi Matriks Transpos (HOTS)
4. Diketahui dua buah matriks $P$ dan $Q$ sebagai berikut:
$P = \begin{pmatrix} ^2\log (x - 2) & 3 \\ x + y & ^5\log 125 \end{pmatrix}$ dan $Q = \begin{pmatrix} 3 & 10 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$
Jika berlaku hubungan persamaan $P = Q^T$ maka:
- Tentukan nilai $x$ dan $y$
- Hitunglah nilai dari elemen $p_{11} + p_{21} - y$
Langkah 1: Transposkan Matriks Q
$Q^T = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 10 & 3 \end{pmatrix}$
Langkah 2: Cari Nilai x
Samakan elemen posisi (1,1):
$^2\log (x - 2) = 3$
Ubah ke eksponen:
$x - 2 = 2^3$
$x - 2 = 8 \implies \mathbf{x = 10}$
Langkah 3: Cari Nilai y
Samakan elemen posisi (2,1):
$x + y = 10$
Substitusikan nilai $x = \color{red}{10}$:
$\color{red}{10} + y = 10 \implies \mathbf{y = 0}$
Langkah 4: Hitung Permintaan Akhir
Nilai $p_{11} + p_{21} - y$
Kita tahu dari kesamaan matriks bahwa $p_{11} = 3$ dan $p_{21} = 10$.
$= 3 + 10 - \color{red}{0} = \mathbf{13}$
Soal 5: Evaluasi Elemen Matriks Bertahap
5. Diberikan dua matriks $A$ dan $B$ sebagai berikut:
$A = \begin{pmatrix} ^x\log 125 & 10 \\ 4^{y-1} & -5 \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} 3 & \frac{1}{16} \\ 2x+2 & -5 \end{pmatrix}$
Berdasarkan informasi bahwa matriks A sama dengan transpose dari matriks B ($A = B^T$), lakukanlah analisis berikut:
- Susunlah persamaan aljabar yang terbentuk dari hubungan elemen $a_{11} = b_{11}$ dan $a_{21} = b_{12}$
- Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan logaritma tersebut
- Tentukan nilai $y$ yang memenuhi persamaan eksponen tersebut
- Hitunglah nilai dari $x^2 + 4y$
Langkah 1: Matriks Transpos B
$B^T = \begin{pmatrix} 3 & 2x+2 \\ \frac{1}{16} & -5 \end{pmatrix}$
Jawaban Poin 1 (Menyusun Persamaan):
Dari $a_{11} = (B^T)_{11}$, didapat: $^x\log 125 = 3$
Dari $a_{21} = (B^T)_{21}$, didapat: $4^{y-1} = \frac{1}{16}$
Jawaban Poin 2 (Mencari x):
Selesaikan persamaan logaritma:
$^x\log 125 = 3$
$x^3 = 125$
$\mathbf{x = 5}$
Jawaban Poin 3 (Mencari y):
Selesaikan persamaan eksponen:
$4^{y-1} = \frac{1}{16}$
$4^{y-1} = 4^{-2}$
Turunkan pangkat:
$y - 1 = -2 \implies \mathbf{y = -1}$
Jawaban Poin 4 (Hitung Akhir):
Substitusikan nilai $x=\color{red}{5}$ dan $y=\color{red}{-1}$ ke rumus $x^2 + 4y$:
$= (\color{red}{5})^2 + 4(\color{red}{-1})$
$= 25 - 4 = \mathbf{21}$
