Selamat datang di latihan soal komprehensif! Artikel ini mengajakmu memahami logika mendalam di balik materi Fungsi Komposisi, Fungsi Invers, dan Matriks Dasar dengan struktur langkah demi langkah.
Siapkan alat tulismu, dan mari kita mulai bedah tuntas 20 soal dari tingkat dasar hingga penalaran HOTS (Higher Order Thinking Skills).
Daftar Isi Materi:
A. Fungsi Komposisi & Operasi Aljabar
1. Menentukan Fungsi Komposisi Dasar
Soal:
Diketahui fungsi $f(x) = 3x - 2$ dan $g(x) = x^2 + 1$. Tentukan bentuk dari fungsi komposisi $(f \circ g)(x)$ dan $(g \circ f)(x)$!
Penyelesaian $(f \circ g)(x)$ :
Masukkan fungsi $g(x)$ ke dalam $f(x)$.
$(f \circ g)(x) = f(\color{red}{g(x)}) = 3(\color{red}{x^2 + 1}) - 2$
$= 3x^2 + 3 - 2 = \mathbf{3x^2 + 1}$
Penyelesaian $(g \circ f)(x)$ :
Masukkan fungsi $f(x)$ ke dalam $g(x)$.
$(g \circ f)(x) = g(\color{red}{f(x)}) = (\color{red}{3x - 2})^2 + 1$
Gunakan penjabaran kuadrat: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
$= (9x^2 - 12x + 4) + 1 = \mathbf{9x^2 - 12x + 5}$
2. Soal Cerita: Pabrik Pembuatan Tempe
Soal:
Sebuah pabrik pembuatan tempe memproduksi tempe melalui dua tahap mesin. Tahap 1 (Mesin Pengupas dan Perebus Kedelai) mengikuti fungsi $g(x) = 4x - 2$, dengan $x$ adalah massa kedelai dalam kg. Tahap 2 (Mesin Fermentasi dan Pengemasan) menerima hasil dari Tahap 1 dan memprosesnya mengikuti fungsi $f(x) = \frac{1}{2}x + 5$. Tentukan fungsi komposisi yang memodelkan total proses produksi pabrik tersebut dari kedelai mentah hingga menjadi tempe kemasan!
Analisis Mendalam:
Proses berurutan dari Tahap 1 lalu ke Tahap 2 berarti output $g(x)$ menjadi input bagi $f(x)$. Ini dimodelkan dengan fungsi komposisi $(f \circ g)(x)$ atau $f(g(x))$.
$f(\color{red}{g(x)}) = \frac{1}{2}(\color{red}{4x - 2}) + 5$
Kalikan setengah ke dalam kurung:
$f(g(x)) = (\color{red}{2x - 1}) + 5$
$f(g(x)) = 2x + 4$
Jadi, model matematis total produksinya adalah $\mathbf{2x + 4}$.
3. Menentukan Fungsi Luar
Soal:
Diketahui fungsi bagian dalam $g(x) = 2x - 3$ dan fungsi komposisinya adalah $(f \circ g)(x) = 4x + 1$. Tentukan rumus untuk fungsi luar/fungsi kiri $f(x)$!
Analisis Mendalam:
Gunakan metode pemisalan. Misal $a = 2x - 3$, maka $2x = a + 3$, sehingga $x = \frac{a + 3}{2}$.
Substitusikan nilai $x$ ini ke persamaan hasil komposisi:
$f(a) = 4\left(\color{red}{\frac{a + 3}{2}}\right) + 1$
Coret angka 4 dengan penyebut 2:
$f(a) = 2(\color{red}{a + 3}) + 1$
$f(a) = 2a + 6 + 1 = 2a + 7$
Kembalikan variabel $a$ menjadi $x$. Jadi, $\mathbf{f(x) = 2x + 7}$.
4. Menentukan Fungsi Luar (Bentuk Kuadrat)
Soal:
Diberikan fungsi $g(x) = x + 4$. Jika diketahui hasil komposisi $(f \circ g)(x) = x^2 + 6x + 5$, tentukan bentuk dari fungsi $f(x)$!
Analisis Mendalam:
Gunakan pemisalan lagi. Misal $a = x + 4$, maka $x = a - 4$.
Substitusikan $x$ ke persamaan hasil komposisi:
$f(a) = (\color{red}{a - 4})^2 + 6(\color{red}{a - 4}) + 5$
$f(a) = (a^2 - 8a + 16) + \color{red}{6a - 24} + 5$
Gabungkan suku-suku sejenis:
$f(a) = a^2 - 2a - 3$
Jadi, $\mathbf{f(x) = x^2 - 2x - 3}$.
B. Fungsi Invers & Invers Komposisi
5. Invers Fungsi Pangkat
Soal:
Jika $f(x) = x^5 - 4$, maka $f^{-1}(x)$ adalah...
Analisis Mendalam:
Misalkan $f(x) = y$.
$y = x^5 - 4$
Pindahkan $-4$ ke ruas kiri:
$x^5 = y + 4$
Akar pangkat 5-kan kedua ruas:
$x = \sqrt[5]{y + 4}$
Jadi, fungsi inversnya adalah $\mathbf{f^{-1}(x) = \sqrt[5]{x + 4}}$.
6. Nilai Fungsi dari Persamaan Invers
Soal:
Jika invers fungsi $f(x)$ adalah $f^{-1}(x) = \frac{5x}{x - 2}, x \neq 2$, maka nilai dari $f(10)$ adalah...
Analisis Mendalam:
Gunakan trik konsep invers: Jika $f(a) = b$, maka $f^{-1}(b) = a$.
Misalkan $f(10) = y$, maka berlaku $f^{-1}(y) = \color{red}{10}$.
Masukkan $y$ ke dalam rumus invers yang diketahui:
$\frac{5y}{y - 2} = \color{red}{10}$
Kali silang:
$5y = 10(y - 2)$
$5y = 10y - 20$
$20 = 5y \implies y = 4$
Jadi, nilai $f(10)$ adalah $\mathbf{4}$.
7. Menentukan Nilai Invers
Soal:
Diketahui $f(x) = \frac{5x + 12}{x - 3}, x \neq 3$. Nilai dari $f^{-1}(7)$ adalah...
Analisis Mendalam:
Sama seperti trik sebelumnya, misalkan $f^{-1}(7) = a$, yang berarti $f(a) = \color{red}{7}$.
Substitusikan $a$ ke fungsi asli:
$\frac{5a + 12}{a - 3} = \color{red}{7}$
Kali silang:
$5a + 12 = 7(a - 3)$
$5a + 12 = 7a - 21$
Pindah ruas:
$12 + 21 = 7a - 5a$
$33 = 2a \implies a = \frac{33}{2}$
Jadi, nilai $f^{-1}(7)$ adalah $\mathbf{\frac{33}{2}}$ atau $16,5$.
8. Invers dari Fungsi Komposisi
Soal:
Diketahui $f(x) = x - 5$ dan $g(x) = 3x$. Tentukan $(f \circ g)^{-1}(x)$ ...
Langkah 1: Cari fungsi komposisinya dulu.
$(f \circ g)(x) = f(\color{red}{g(x)}) = \color{red}{3x} - 5$
Langkah 2: Inverskan hasilnya.
Misal $(f \circ g)(x) = y \implies y = 3x - 5$
$y + 5 = 3x \implies x = \frac{y + 5}{3}$
Jadi, $\mathbf{(f \circ g)^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3}}$.
9. Invers Komposisi Diri Sendiri
Soal:
Diketahui $f(x) = \frac{2}{x - 2}, x \neq 2$. Berapakah $(f \circ f)^{-1}(x)$?
Langkah 1: Komposisikan $f$ dengan dirinya sendiri
$(f \circ f)(x) = f(\color{red}{f(x)}) = \frac{2}{\color{red}{\left(\frac{2}{x - 2}\right)} - 2}$
Samakan penyebut bagian bawah:
$= \frac{2}{\frac{2 - 2(x - 2)}{x - 2}} = \frac{2}{\frac{6 - 2x}{x - 2}}$
Balik pecahan saat dibagi:
$= \frac{2(x - 2)}{6 - 2x} = \frac{x - 2}{3 - x}$
Langkah 2: Inverskan Hasilnya
Gunakan rumus cepat $y = \frac{ax+b}{cx+d} \implies y^{-1} = \frac{-dx+b}{cx-a}$.
Dari $\frac{x - 2}{-x + 3}$, kita punya $a=1, b=-2, c=-1, d=3$.
Inversnya $= \frac{-3x - 2}{-x - 1}$
Kalikan atas dan bawah dengan $(-1)$ agar rapi, hasilnya $\mathbf{\frac{3x + 2}{x + 1}}$.
10. Sifat Sakti Invers Komposisi
Soal:
Diketahui $a^{-1}(x) = 2x + 3$ dan $b^{-1}(x) = x - 2$. Tentukan $(a \circ b)^{-1}(x)$ ...
Analisis Mendalam:
Gunakan sifat invers komposisi: $(a \circ b)^{-1}(x) = (b^{-1} \circ a^{-1})(x)$. *(Awas, posisinya terbalik!)*
Masukkan $a^{-1}(x)$ ke dalam fungsi $b^{-1}(x)$:
$= b^{-1}(\color{red}{a^{-1}(x)})$
$= b^{-1}(\color{red}{2x + 3})$
$= (\color{red}{2x + 3}) - 2$
$= 2x + 1$
Jadi, jawabannya adalah $\mathbf{2x + 1}$.
11. Analisis Maju-Mundur Fungsi
Soal:
Diketahui $p(x) = 3x - 2$ dan $(q \circ p)^{-1}(x) = \frac{x+4}{6}$. Tentukan fungsi $q(x)$...
Langkah 1: Kembalikan fungsi invers ke bentuk asal
Misal $y = \frac{x+4}{6} \implies 6y = x + 4 \implies x = 6y - 4$.
Maka, $(q \circ p)(x) = 6x - 4$.
Langkah 2: Cari fungsi $q(x)$
$q(p(x)) = 6x - 4$
$q(\color{red}{3x - 2}) = 6x - 4$
Ubah ruas kanan agar mirip dengan yang di dalam kurung:
$6x - 4 = 2(\color{red}{3x - 2})$
Ganti $(\color{red}{3x - 2})$ menjadi $x$, sehingga didapat $\mathbf{q(x) = 2x}$.
12. Variabel Semu dalam Invers
Soal:
Diketahui fungsi dengan variabel $a$, yaitu $x(a) = a + 5$ dan $(x \circ z)^{-1}(a) = 3a - 2$. Tentukan fungsi $z(a)$...
Langkah 1: Inverskan kembali fungsi komposisi
Misal $y = 3a - 2 \implies a = \frac{y+2}{3}$.
Jadi, $(x \circ z)(a) = \frac{a+2}{3}$.
Langkah 2: Cari $z(a)$
$x(\color{red}{z(a)}) = \frac{a+2}{3}$
Karena $x(a) = a + 5$, maka:
$\color{red}{z(a)} + 5 = \frac{a+2}{3}$
$z(a) = \frac{a+2}{3} - 5$
Samakan penyebut:
$z(a) = \frac{a+2 - 15}{3} = \frac{a - 13}{3}$.
Jadi, fungsi $\mathbf{z(a) = \frac{a - 13}{3}}$.
C. Matriks Dasar & Transpos
13. Operasi Elemen Matriks
Soal:
Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ 6 & 9 \end{pmatrix}$. Berapakah hasil dari $\frac{58}{27}a_{22} + (a_{21} - 36a_{12})$...
Analisis Mendalam:
Tentukan elemen matriksnya terlebih dahulu:
$a_{22}$ (Baris 2 Kolom 2) $= \color{red}{9}$
$a_{21}$ (Baris 2 Kolom 1) $= \color{red}{6}$
$a_{12}$ (Baris 1 Kolom 2) $= \color{red}{4}$
Substitusikan ke persamaan:
$= \frac{58}{27}(\color{red}{9}) + (\color{red}{6} - 36(\color{red}{4}))$
$= \frac{58}{3} + (6 - 144)$
$= \frac{58}{3} - 138$
Samakan penyebut:
$= \frac{58}{3} - \frac{414}{3} = \mathbf{-\frac{356}{3}}$
14. Kesamaan Matriks & Transpos
Soal:
Diketahui matriks $K = \begin{pmatrix} 4 & 3x - y \\ 7 & x + 2y \end{pmatrix}$ dan $K^T = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 5 & 10 \end{pmatrix}$. Tentukan nilai $3x - y$ dan $\frac{2}{3}xy$!
Analisis Mendalam:
Transposkan kembali $K^T$ untuk mendapatkan matriks $K$ asli:
$K = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 10 \end{pmatrix}$
Samakan posisi elemennya dengan matriks $K$ pada soal:
1) $3x - y = \mathbf{5}$ *(Ini sudah menjawab pertanyaan pertama)*
2) $x + 2y = 10$
Gunakan substitusi. Dari (1), didapat $y = 3x - 5$.
Substitusikan ke (2):
$x + 2(\color{red}{3x - 5}) = 10 \implies 7x = 20 \implies x = \frac{20}{7}$.
Cari $y$:
$y = 3\left(\color{red}{\frac{20}{7}}\right) - 5 = \frac{60}{7} - \frac{35}{7} = \frac{25}{7}$.
Nilai $\frac{2}{3}xy$ adalah:
$= \frac{2}{3} \cdot \color{red}{\frac{20}{7}} \cdot \color{red}{\frac{25}{7}} = \mathbf{\frac{1000}{147}}$.
15. Persamaan Matriks Dua Variabel
Soal:
Diketahui matriks $P = \begin{bmatrix} 2x & 14 \\ y & -3 \end{bmatrix}$ dan $Q = \begin{bmatrix} 8 & -5 \\ 14 & -3 \end{bmatrix}$. Jika $P^T = Q$, maka nilai $x - 2y = \dots$
Analisis Mendalam:
Transposkan matriks $P$ (baris jadi kolom):
$P^T = \begin{bmatrix} 2x & y \\ 14 & -3 \end{bmatrix}$
Samakan dengan matriks $Q$:
$\begin{bmatrix} 2x & y \\ 14 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & -5 \\ 14 & -3 \end{bmatrix}$
Dari sini terlihat jelas bahwa:
$2x = \color{red}{8} \implies x = 4$
$y = \color{red}{-5}$
Nilai yang ditanya: $x - 2y = \color{red}{4} - 2(\color{red}{-5}) = 4 + 10 = \mathbf{14}$.
D. Analisis Campuran (HOTS)
16. Syarat Akar & Uji Validitas
Soal:
Diketahui matriks $M = \begin{bmatrix} a^2 - 4 & b^2 - 2b \\ 2c - d & d^2 \end{bmatrix}$ dan matriks $N = \begin{bmatrix} 0 & c + d \\ 3 & 9 \end{bmatrix}$. Diketahui matriks $M = N^T$. Jika diinformasikan bahwa semua unsur pada matriks $M$ bernilai non-negatif (nol atau bilangan positif), tentukan nilai yang valid untuk $a, b, c,$ dan $d$!
Langkah 1: Samakan elemen matriks
$N^T = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ c + d & 9 \end{bmatrix}$. Karena $M = N^T$, maka:
$\begin{bmatrix} a^2 - 4 & b^2 - 2b \\ 2c - d & d^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ c + d & 9 \end{bmatrix}$
Langkah 2: Uji Validitas (Syarat Unsur $\ge 0$)
• $a^2 - 4 = 0 \implies a = \pm 2$. (Keduanya menghasilkan $0$, valid).
• $d^2 = 9 \implies d = \pm 3$.
• $b^2 - 2b = 3 \implies b^2 - 2b - 3 = 0 \implies (b-3)(b+1) = 0 \implies b = 3$ atau $b = -1$.
• $2c - d = c + d \implies c = 2d$.
Jika $d = \color{red}{3} \implies c = 6$. (Elemen $M$ akan bernilai positif, valid).
Jika $d = \color{red}{-3} \implies c = -6$. (Elemen $M$ akan bernilai $2(-6)-(-3) = -9$. Invalid karena negatif!).
Jadi nilai yang valid adalah: $\mathbf{a \in \{-2, 2\}, b \in \{-1, 3\}, c = 6, \text{dan } d = 3}$.
17. Penjumlahan & Transpos Matriks
Soal:
Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix} 3a & -4 \\ 5 & -2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 9 & 2 \\ -7 & b \end{pmatrix}$, dan $C = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$. Transpos C dinyatakan dengan $C^T$, dan $A + B = 2C^T$, maka nilai $a + b = \dots$
Analisis Mendalam:
Cari $2C^T$ terlebih dahulu:
$2C^T = 2 \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$
Jumlahkan matriks $A$ dan $B$:
$A + B = \begin{pmatrix} 3a+9 & -2 \\ -2 & b-2 \end{pmatrix}$
Samakan elemen-elemennya:
$3a + 9 = \color{red}{6} \implies 3a = -3 \implies a = -1$
$b - 2 = \color{red}{4} \implies b = 6$
Nilai $a + b = -1 + 6 = \mathbf{5}$.
18. Invers dari Fungsi Pecahan Campuran
Soal:
Diketahui fungsi $f(x) = 3x - 5$ dan $g(x) = \frac{x+1}{2}$. Tentukan fungsi invers dari komposisi $(f \circ g)^{-1}(x)$!
Langkah 1: Komposisikan
$(f \circ g)(x) = f(\color{red}{g(x)}) = 3\color{red}{\left(\frac{x+1}{2}\right)} - 5$
$= \frac{3x+3}{2} - \frac{10}{2} = \frac{3x-7}{2}$
Langkah 2: Cari Inversnya
Misalkan $y = \frac{3x-7}{2}$
$2y = 3x - 7$
$3x = 2y + 7 \implies x = \frac{2y+7}{3}$
Jadi, $\mathbf{(f \circ g)^{-1}(x) = \frac{2x+7}{3}}$.
19. Analisis Fungsi Unik (Identitas Invers)
Soal:
Diketahui sebuah fungsi rasional $h(x) = \frac{ax+3}{2x-b}, x \neq \frac{b}{2}$. Siswa kelas XI TKJ menemukan bahwa fungsi ini sangat unik, karena fungsi aslinya sama persis dengan fungsi inversnya, yaitu $h(x) = h^{-1}(x)$. Jika diketahui $h(1) = 4$, analisislah nilai dari $a+b$ berapa!
Analisis Mendalam:
Gunakan rumus cepat invers fungsi rasional: $h(x) = \frac{Ax+B}{Cx+D} \implies h^{-1}(x) = \frac{-Dx+B}{Cx-A}$.
$h^{-1}(x) = \frac{\color{red}{b}x+3}{2x-\color{red}{a}}$.
Karena $h(x) = h^{-1}(x)$, maka posisi koefisien $a$ dan $b$ harus sama, sehingga kesimpulannya: $\mathbf{a = b}$.
Gunakan info $h(1) = 4$:
$\frac{a(\color{red}{1}) + 3}{2(\color{red}{1}) - b} = \color{red}{4} \implies \frac{a+3}{2-b} = 4$
Substitusikan $b$ dengan $a$ (karena $a = b$):
$\frac{a+3}{2-a} = 4$
$a + 3 = 4(2 - a)$
$a + 3 = 8 - 4a$
$5a = 5 \implies a = 1$. (Maka $b$ juga $1$).
Jadi, nilai $a+b = 1+1 = \mathbf{2}$.
20. Komposisi dengan Fungsi Kuadrat
Soal:
$f(x) = x + 2, (f \circ g)(x) = 4x^2 + 2x$, maka $g(2) = \dots$
Analisis Mendalam:
$(f \circ g)(x) = f(\color{red}{g(x)})$
Karena $f(x) = x + 2$, maka $f(\color{red}{g(x)}) = \color{red}{g(x)} + 2$.
Samakan persamaan:
$g(x) + 2 = 4x^2 + 2x$
$g(x) = 4x^2 + 2x - 2$
Cari nilai $g(2)$ dengan memasukkan $x=\color{red}{2}$:
$g(\color{red}{2}) = 4(\color{red}{2^2}) + 2(\color{red}{2}) - 2$
$g(2) = 4(\color{red}{4}) + 4 - 2$
$g(2) = 16 + 2 = \mathbf{18}$.
