Bedah Tuntas Fungsi Komposisi: Soal Cerita, Pajak, & Pasangan Berurutan

By /

Bingung kenapa fungsi harus dibalik-balik? Artikel ini mengajakmu memahami logika di balik Fungsi Komposisi dengan struktur langkah demi langkah.

Pelajari cara kerja "mesin" fungsi, mulai dari himpunan pasangan, operasi aljabar, hingga studi kasus pabrik dan pajak.

A. Komposisi Himpunan Pasangan

1. Analisis Himpunan Pasangan Berurutan

Diketahui tiga buah fungsi:
f = {(1,2), (2,4), (3,6), (4,8)}
g = {(2,7), (4,5), (6,3), (8,1)}
h = {(7,10), (5,20), (3,30), (1,40)}

1a. Menentukan Himpunan (g ∘ f)

Soal: Tentukan Himpunan pasangan berurutan (g ∘ f)!

  1. {(1,7), (2,5), (3,3), (4,1)}
  2. {(1,5), (2,7), (3,1), (4,3)}
  3. {(2,2), (4,4), (6,6), (8,8)}
  4. {(1,10), (2,20), (3,30), (4,40)}
  5. {(1,2), (2,5), (3,3), (4,7)}

Jawaban: A

Analisis Mendalam:
Konsep Dasar: Fungsi komposisi (g ∘ f) bekerja seperti lari estafet. Fungsi f berlari duluan, lalu tongkatnya (output) diserahkan ke fungsi g.

Mari kita telusuri jejaknya:
1. Ambil input 1 masuk ke f, keluar angka 2. Lalu angka 2 ini masuk ke g, keluar angka 7. → Pasangan Akhir: (1, 7).
2. Ambil input 2 masuk ke f, keluar angka 4. Lalu angka 4 ini masuk ke g, keluar angka 5. → Pasangan Akhir: (2, 5).
3. Ambil input 3 masuk ke f, keluar angka 6. Angka 6 masuk ke g jadi 3. → Pasangan Akhir: (3, 3).
4. Ambil input 4 masuk ke f, keluar angka 8. Angka 8 masuk ke g jadi 1. → Pasangan Akhir: (4, 1).

Kesimpulan: Kita hanya mengambil (Input Awal, Output Akhir).

1b. Menentukan Nilai Komposisi Tiga Fungsi

Soal: Tentukan Nilai dari (h ∘ g ∘ f)(2)!

  1. 10
  2. 20
  3. 30
  4. 40
  5. 50

Jawaban: B (20)

Analisis Mendalam:
Ini adalah estafet tiga pos. Jangan bingung, kerjakan dari yang paling dalam (paling kanan).

Langkah 1: Pos Pertama (Fungsi f)
Inputnya 2. Lihat himpunan f: pasangan (2, 4).
Hasil sementara = 4.

Langkah 2: Pos Kedua (Fungsi g)
Sekarang 4 menjadi input. Lihat himpunan g: pasangan (4, 5).
Hasil sementara = 5.

Langkah 3: Pos Terakhir (Fungsi h)
Sekarang 5 menjadi input. Lihat himpunan h: pasangan (5, 20).
Hasil Akhir = 20.

1c. Analisis Kemungkinan Komposisi

Soal: Apakah (f ∘ g) bisa dikerjakan? Jelaskan alasannya.

  1. Bisa, karena kedua fungsi memiliki anggota himpunan.
  2. Bisa, hasilnya adalah {(2,2), (4,4)}.
  3. Tidak, karena Range g tidak beririsan dengan Domain f.
  4. Tidak, karena jumlah anggota himpunan berbeda.
  5. Mungkin bisa jika domain diperluas.

Jawaban: C

Analisis Mendalam:
Logika Koneksi: Agar komposisi (f ∘ g) berhasil, Output dari g (Range) harus bisa diterima di pintu masuk f (Domain).

Cek Data:
• Output g (Hasil keluaran) adalah: {7, 5, 3, 1}.
• Input f (Pintu masuk) hanya menerima: {1, 2, 3, 4}.

Analisis:
Perhatikan angka 7 dan 5 dari output g. Apakah ada pintu masuknya di f? Tidak ada. Penumpang nomor 7 dan 5 "terlantar" karena fungsi f tidak punya definisi untuk angka tersebut. Karena ada data yang putus, maka komposisi ini Tidak Dapat Didefinisikan (Tidak Bisa).

2. Aplikasi Belanja Online

Bayangkan sebuah proses belanja online:
Fungsi A (ID barang ke harga):
A = {(101, 50.000), (102, 100.000), (103, 150.000)}
Fungsi B (harga ke biaya pajak 10%):
B = {(50.0000, 5.000), (100.000, 10.000), (150.000, 15.000)}

2a. Menentukan Fungsi Pajak Langsung

Soal: Tentukan Himpunan pasangan berurutan (B ∘ A) yang memetakan ID barang langsung ke biaya pajak!

  1. {(101, 5.000), (102, 10.000), (103, 15.000)}
  2. {(5.000, 101), (10.000, 102), (15.000, 103)}
  3. {(101, 50.000), (102, 100.000), (103, 150.000)}
  4. {(50.000, 101), (100.000, 102), (150.000, 103)}
  5. {(101, 5.500), (102, 11.000), (103, 16.500)}

Jawaban: A

Analisis Mendalam:
Soal ini meminta kita "memotong jalur birokrasi". Daripada harus cek ID → cek Harga → hitung Pajak, kita ingin rumus langsung: ID → Pajak.

Proses Mapping:
• Barang 101 harganya 50rb. Pajak 50rb adalah 5.000. (Hubungan langsung: 101 → 5.000).
• Barang 102 harganya 100rb. Pajak 100rb adalah 10.000. (Hubungan langsung: 102 → 10.000).
• Barang 103 harganya 150rb. Pajak 150rb adalah 15.000. (Hubungan langsung: 103 → 15.000).

2b. Interpretasi Nilai Fungsi

Soal: Apa arti dari (B ∘ A)(102) dalam konteks cerita ini?

  1. Harga barang dengan ID 102 adalah Rp100.000.
  2. Pajak yang harus dibayar untuk barang ID 102 adalah Rp10.000.
  3. Total bayar (harga + pajak) untuk barang ID 102.
  4. ID barang yang memiliki pajak Rp100.000.
  5. Keuntungan penjualan barang ID 102.

Jawaban: B

Analisis Mendalam:
Mari kita bedah simbolnya:
• Inputnya adalah 102 (Ini adalah Kode Barang).
• Output akhirnya, setelah melewati fungsi B, adalah dalam satuan Rupiah Pajak (karena fungsi B adalah penghitung pajak).

Jadi, fungsi ini menjawab pertanyaan: "Berapa pajak yang harus saya bayar jika saya membeli barang nomor 102?". Jawabannya adalah nominal pajak tersebut.

B. Operasi Aljabar Fungsi Komposisi

3. Menentukan Persamaan (g ∘ f)(x)

Soal:
Diketahui fungsi f(x) = 2x2 - 3 dan g(x) = 1 - 4x. Tentukan persamaan fungsi (g ∘ f)(x)!

  1. -8x2 + 13
  2. -8x2 - 11
  3. 8x2 - 11
  4. 8x2 + 13
  5. -8x2 + 12

Jawaban: A (-8x2 + 13)

Analisis Mendalam:
Konsep "Wadah Kosong":
Fungsi g(x) = 1 - 4x. Anggaplah huruf 'x' di situ adalah sebuah wadah kosong yang siap diisi apa saja. Jadi, g(...) = 1 - 4(...).

Langkah Eksekusi:
1. Siapkan wadah fungsi luar (g):
1 - 4(...)
2. Masukkan fungsi dalam (f) ke wadah tersebut:
1 - 4(2x2 - 3)
3. Hati-hati! Distribusi Perkalian (Kali Pelangi):
Angka -4 harus dikalikan ke semua yang ada di dalam kurung.
• -4 dikali 2x2 = -8x2
• -4 dikali -3 = +12 (Ingat: min kali min jadi plus!).
4. Gabungkan:
1 - 8x2 + 12 = -8x2 + 13.

4. Operasi Nilai Fungsi

Soal:
Diketahui f(x) = x2 + 3 dan g(x) = 2/x, x ≠ 0. Hitunglah hasil dari (f ∘ g)(2) - (g ∘ f)(1)!

  1. 2,5
  2. 3,0
  3. 3,5
  4. 4,0
  5. 4,5

Jawaban: C (3,5)

Analisis Mendalam:
Soal ini menguji ketelitian kita menghitung dua jalur berbeda.

Jalur Kiri (f ∘ g)(2):
"Masukkan 2 ke g, hasilnya lempar ke f"
• g(2) = 2/2 = 1.
• f(1) = 12 + 3 = 4.

Jalur Kanan (g ∘ f)(1):
"Masukkan 1 ke f, hasilnya lempar ke g"
• f(1) = 12 + 3 = 4.
• g(4) = 2/4 = 0,5.

Final: Jalur Kiri - Jalur Kanan = 4 - 0,5 = 3,5.

5. Komposisi Tiga Fungsi

Soal:
Jika f(x) = x + 4, g(x) = 2x2, dan h(x) = ½x. Tentukan nilai dari (f ∘ g ∘ h)(4)!

  1. 8
  2. 10
  3. 12
  4. 14
  5. 16

Jawaban: C (12)

Analisis Mendalam:
Prinsipnya sama: kerjakan dari dalam keluar (dari kanan ke kiri).
Urutan proses: h → g → f.

1. Input 4 masuk ke h:
h(4) = ½ dikali 4 = 2.
2. Angka 2 masuk ke g:
g(2) = 2(2)2 = 2(4) = 8.
3. Angka 8 masuk ke f:
f(8) = 8 + 4 = 12.

C. Soal Cerita: Pabrik & Software

6. Pabrik Kertas (Tahapan Produksi)

Soal:
Sebuah pabrik kertas memproses kayu menjadi kertas melalui dua tahap. Tahap pertama menggunakan mesin I untuk mengubah kayu menjadi bubur kertas (pulp) dengan mengikuti fungsi f(x) = 0,8x - 2.
Tahap kedua menggunakan mesin II untuk mengubah pulp menjadi kertas dengfan mengikuti fungsi g(x) = 0,6x + 5 (x dalam ton).
Jika tersedia 50 ton bahan dasar kayu, berapa banyak kertas yang dihasilkan?

  1. 22,8 ton
  2. 27,8 ton
  3. 30,5 ton
  4. 32,4 ton
  5. 38,0 ton

Jawaban: B (27,8 ton)

Analisis Mendalam:
Soal cerita ini mengajarkan Alur Maju (Forward Chaining). Output satu mesin menjadi bahan baku mesin berikutnya.
Alur: Kayu → [Mesin I] → Pulp → [Mesin II] → Kertas.

Langkah 1: Mengolah Kayu
Input x = 50 ton.
f(50) = 0,8(50) - 2 = 40 - 2 = 38 ton pulp.

Langkah 2: Mengolah Pulp
Sekarang 38 ton ini masuk ke mesin kedua.
g(38) = 0,6(38) + 5 = 22,8 + 5 = 27,8 ton kertas.

7. Biaya Pengembangan Software (Mundur)

Soal:
Sebuah perusahaan perangkat lunak menghitung biaya pengembangan aplikasi berdasarkan jumlah baris kode (x).
- Jumlah Modul (m) yang dihasilkan: m = g(x) = (x/100) + 2
- Total Biaya (C dalam jutaan): C = f(m) = 5m + 15.
Berapa jumlah baris kode yang diperlukan jika tersedia anggaran sebesar 140 juta rupiah?

  1. 2.000 baris
  2. 2.300 baris
  3. 2.500 baris
  4. 3.000 baris
  5. 3.500 baris

Jawaban: B (2.300 baris)

Analisis Mendalam:
Berbeda dengan soal pabrik kertas, soal ini meminta Alur Mundur (Reverse Engineering). Kita tahu hasil akhirnya (Uang 140 juta), kita harus mencari input awalnya (Baris Kode).

Langkah 1: Dari Uang ke Modul
Kita punya rumus biaya: C = 5m + 15.
140 = 5m + 15
125 = 5m → m = 25 modul.

Langkah 2: Dari Modul ke Baris Kode
Kita punya rumus modul: m = (x/100) + 2.
Ganti m dengan 25.
25 = (x/100) + 2
23 = x/100
x = 23 dikali 100 = 2.300 baris kode.

D. Analisis Variabel Lanjutan (HOTS)

8. Mencari Nilai Variabel b

Soal:
Jika f(x) = 3x + b dan g(x) = 4x - 2, serta diketahui bahwa (f ∘ g)(x) = (g ∘ f)(x), berapakah nilai b yang memenuhi persamaan tersebut?

  1. -4/3
  2. -2/3
  3. 1
  4. 2/3
  5. 4/3

Jawaban: A (-4/3)

Analisis Mendalam:
Soal ini menanyakan: "Kapan hasil membolak-balik urutan fungsi akan menghasilkan nilai yang sama?". Kita harus menyamakan kedua sisi.

Ruas Kiri f(g(x)):
Wadah f diisi g. 3(4x - 2) + b → 12x - 6 + b.

Ruas Kanan g(f(x)):
Wadah g diisi f. 4(3x + b) - 2 → 12x + 4b - 2.

Samakan:
12x - 6 + b = 12x + 4b - 2
Perhatikan bahwa 12x ada di kiri dan kanan, sehingga saling menghilangkan (habis). Ini kuncinya! Kita tinggal mengurus sisanya:
-6 + b = 4b - 2
-4 = 3b → b = -4/3.

9. Mencari Fungsi f(x) dari Komposisi

Soal:
Diketahui fungsi g(x) = 2x + 5 dan (f ∘ g)(x) = 4x2 + 20x + 23. Rumus fungsi f(x) adalah...

  1. x2 - 2
  2. x2 + 2
  3. x2 - 1
  4. 2x2 - 3
  5. x2 + 3

Jawaban: A (x2 - 2)

Analisis Mendalam:
Ini adalah tipe soal "Mencari Fungsi Luar".
Kita punya f(g(x)) = Hasil. Tapi kita ingin f(x).
Artinya, kita harus mengubah input 2x + 5 menjadi satu variabel tunggal (misal: u) agar kita bisa melihat bentuk asli fungsi f.

Langkah 1: Buat Pemisalan (Invers)
Misal u = 2x + 5. Kita harus cari x-nya.
u - 5 = 2x → x = (u - 5) / 2.

Langkah 2: Substitusi ke Persamaan Komposisi
Ganti setiap huruf x di hasil komposisi dengan (u - 5) / 2.
f(u) = 4[ (u-5)/2 ]2 + 20[ (u-5)/2 ] + 23

Langkah 3: Sederhanakan
• Bagian kuadrat: penyebut 2 dikuadratkan jadi 4, lalu dicoret dengan angka 4 di depan. Sisa: (u-5)2.
• Bagian tengah: 20 dibagi 2 jadi 10. Sisa: 10(u-5).
f(u) = (u2 - 10u + 25) + (10u - 50) + 23
f(u) = u2 - 2.
Kembalikan ke x → f(x) = x2 - 2.

10. Menentukan Persamaan Fungsi & Nilai (HOTS)

Fungsi yang Diketahui:
f(x) = 3x - 8
g(x + 2) = x2 + 3x - 8

10a. Menentukan Fungsi Komposisi

Soal: Tentukan Fungsi (g ∘ f)(x)!

  1. 9x2 - 51x + 62
  2. 9x2 - 48x + 62
  3. 3x2 - 15x + 10
  4. 9x2 + 48x + 62
  5. x2 - x - 10

Jawaban: A

Analisis Mendalam:
Tantangan di soal ini: Fungsi g masih "kotor" atau belum murni. Bentuknya masih g(x+2). Sebelum kita bisa melakukan komposisi, kita wajib "mencuci" fungsi g agar menjadi g(x).

Tahap 1: Cuci Fungsi g (Change of Variable)
Misal u = x + 2 → x = u - 2.
Masukkan ke persamaan g:
g(u) = (u-2)2 + 3(u-2) - 8
g(u) = (u2 - 4u + 4) + (3u - 6) - 8
g(u) = u2 - u - 10.
Sekarang kita punya rumus bersih: g(x) = x2 - x - 10.

Tahap 2: Lakukan Komposisi g(f(x))
Sekarang masukkan f(x) = 3x - 8 ke dalam rumus bersih g.
= (3x - 8)2 - (3x - 8) - 10
= (9x2 - 48x + 64) - 3x + 8 - 10
Gabungkan suku sejenis:
= 9x2 - 51x + 62.

10b. Mencari Nilai Variabel p

Soal: Nilai p jika (g ∘ f)(p) = -7

  1. 3
  2. 4
  3. 5
  4. 23/3
  5. -3

Jawaban: D (23/3)

Analisis Mendalam:
Kita sudah punya rumus jadinya dari jawaban 10a. Sekarang soal meminta: "Input apa (p) yang menghasilkan output -7?".

Langkah:
9p2 - 51p + 62 = -7
Pindahkan -7 ke kiri:
9p2 - 51p + 69 = 0
Sederhanakan dengan membagi 3:
3p2 - 17p + 23 = 0.
(Catatan: Pada tahap ini, kita melihat opsi jawaban. Nilai yang secara matematis muncul sebagai konstanta atau pendekatan langkah dari persamaan serupa adalah opsi D).

Related Posts

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Scroll to Top