Paket latihan ini berfokus pada materi inti TKA seperti Matriks, Polinomial, Limit Fungsi, dan Geometri. Soal-soal ini dirancang untuk menguji pemahaman konsep secara mendalam dengan berbagai variasi tingkat kesulitan.
Kerjakan dengan teliti dan gunakan logika matematika yang runut.
Daftar Isi Latihan:
A. Matriks & Polinomial
1. Analisis Nilai Variabel pada Determinan Matriks
Soal:
Diketahui matriks P =
x x+2
3 x-2
. Jika nilai det(P) = -10, maka jumlah semua nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah ....
- 3
- 4
- 5
- 6
- 10
Jawaban: C (5)
Pembahasan:
Determinan P = ad - bc = -10.
(x)(x - 2) - 3(x + 2) = -10
x2 - 2x - 3x - 6 = -10
x2 - 5x - 6 + 10 = 0
x2 - 5x + 4 = 0
(x - 1)(x - 4) = 0
Diperoleh x = 1 atau x = 4.
Jumlah nilai x = 1 + 4 = 5.
2. Operasi Aljabar Matriks
Soal:
Diketahui matriks B =
1 2
0 1
dan C =
3 1
1 1
.
Jika (A + B)-1 · C = B-1, maka matriks A adalah ....
- 2 51 2
- 1 32 4
- 2 -51 2
- -2 51 -2
- 0 51 1
Jawaban: A
Pembahasan:
(A + B)-1 C = B-1
Kalikan kedua ruas dengan B dari kanan:
(A + B)-1 C B = B-1 B
(A + B)-1 C B = I
Maka (A+B) adalah invers dari (CB)-1, atau sederhananya A + B = CB.
A = CB - B = (C - I)B.
C - I = 2 11 0.
A = 2 11 0 1 20 1 = 2 51 2.
3. Persamaan Matriks Identitas
Soal:
Diketahui matriks A = 1 23 4. Jika matriks B memenuhi persamaan AB - I = C (dengan I matriks identitas dan C matriks nol), maka determinan dari matriks B adalah ....
- -2
- -1
- -0,5
- 0,5
- 2
Jawaban: C (-0,5)
Pembahasan:
AB - I = 0 → AB = I.
Jika hasil kali dua matriks adalah Identitas, maka mereka saling invers. B = A-1.
Determinan matriks invers adalah kebalikan determinan matriks asal.
det(B) = 1 / det(A).
det(A) = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2.
Maka det(B) = 1 / -2 = -0,5.
4. Karakteristik Fungsi Polinomial
Soal:
Diketahui polinomial P(x) = 3x4 - 2x3 + x - 5.
Manakah dari pernyataan berikut yang BENAR?
- Derajat polinomial tersebut adalah 3.
- Suku utamanya adalah -2x3.
- Konstanta polinomial tersebut adalah 5.
- Nilai P(1) adalah -3.
- Koefisien x adalah 0.
Jawaban: D
Pembahasan:
Analisis pilihan:
A. Derajat (pangkat tertinggi) adalah 4. (Salah)
B. Suku utama adalah 3x4. (Salah)
C. Konstanta adalah -5. (Salah)
D. P(1) = 3(1) - 2(1) + 1 - 5 = -3. (Benar)
E. Koefisien x adalah 1. (Salah)
5. Aplikasi Polinomial (Gerak Robot)
Soal:
Robot X bergerak dengan fungsi f(t) = t3 - 2t2.
Robot Y bergerak dengan fungsi g(t) = -t3 + 5t2 - 6t.
Jika fungsi gabungan adalah h(t) = f(t) + g(t), pada detik ke berapa robot berhenti bergerak (h(t) = 0 untuk t > 0)?
- 1 detik
- 2 detik
- 3 detik
- 4 detik
- 5 detik
Jawaban: B (2 detik)
Pembahasan:
Jumlahkan kedua fungsi:
h(t) = (t3 - 2t2) + (-t3 + 5t2 - 6t)
h(t) = 3t2 - 6t
Syarat berhenti h(t) = 0:
3t2 - 6t = 0 → 3t(t - 2) = 0.
t = 0 atau t = 2.
Karena t > 0, maka robot berhenti pada detik ke-2.
B. Limit, Geometri & Logaritma
6. Limit Fungsi Aljabar (Akar Sekawan)
Soal:
Nilai dari limit berikut adalah ....
lim x→0 [ 2x / (√(4 + x) - √(4 - x)) ]
- 1
- 2
- 4
- 8
- 0
Jawaban: C (4)
Pembahasan:
Kalikan dengan sekawan penyebut (√(4+x) + √(4-x)).
Pembilang: 2x [√(4+x) + √(4-x)]
Penyebut: (4+x) - (4-x) = 2x.
Limit = [2x (√4 + √4)] / 2x
Coret 2x:
= 2 + 2 = 4.
7. Limit Bentuk Akar Bertingkat
Soal:
Nilai dari lim x→4 [ (√x - 2) / (√(2x+1) - 3) ] adalah ....
- 1/2
- 3/4
- 1
- 3/2
- 2
Jawaban: B (3/4)
Pembahasan:
Gunakan Dalil L'Hopital (Turunan):
Turunan Pembilang: 1 / (2√x)
Turunan Penyebut: 1 / (2√(2x+1)) × 2 = 1 / √(2x+1)
Limit = [ 1 / (2√4) ] / [ 1 / √9 ]
= (1/4) / (1/3) = 1/4 × 3/1 = 3/4.
8. Translasi Segitiga (Analisis Koordinat)
Soal:
Segitiga ABC memiliki koordinat A(1, 1), B(3, 1), dan C(2, 4). Segitiga tersebut ditranslasikan oleh T = [-1, 2]. Tentukan kebenaran koordinat bayangannya!
| Pernyataan | Benar | Salah |
|---|---|---|
| Bayangan titik A adalah A'(0, 3). | ||
| Bayangan titik B adalah B'(2, 2). | ||
| Bayangan titik C adalah C'(1, 6). |
Pembahasan:
Rumus Translasi: (x', y') = (x+a, y+b). T = [-1, 2].
A' = (1-1, 1+2) = (0, 3). [BENAR]
B' = (3-1, 1+2) = (2, 3). [SALAH, di soal tertulis (2,2)].
C' = (2-1, 4+2) = (1, 6). [BENAR]
9. Analisis Dimensi Prisma Segitiga
Soal:
Diketahui prisma alas segitiga siku-siku dengan panjang sisi penyiku 6 cm dan 8 cm. Tinggi prisma adalah 10 cm. Tentukan persetujuan Anda terhadap pernyataan berikut:
| Pernyataan | Setuju | Tidak Setuju |
|---|---|---|
| Volume prisma tersebut adalah 240 cm3. | ||
| Luas permukaan prisma adalah 288 cm2. |
Pembahasan:
Alas siku-siku 6, 8 → Sisi miring (Pythagoras) = 10 cm.
Luas Alas (La) = 1/2 × 6 × 8 = 24 cm2.
Keliling Alas (Ka) = 6 + 8 + 10 = 24 cm.
Cek Volume: V = La × t = 24 × 10 = 240. [SETUJU].
Cek Luas Permukaan: Lp = (2 × La) + (Ka × t)
Lp = (2 × 24) + (24 × 10) = 48 + 240 = 288 cm2. [SETUJU].
10. Sifat Logaritma
Soal:
Jika diketahui 60log 3 = p dan 60log 5 = q, maka nilai dari 60log 16 adalah ....
- 2(1 - p - q)
- 4(1 - p - q)
- 1 - p - q
- 2(p + q)
- p + q - 1
Jawaban: A
Pembahasan:
60 = 4 × 3 × 5.
60log 60 = 1.
60log(4 × 3 × 5) = 1.
60log 4 + 60log 3 + 60log 5 = 1.
60log 4 + p + q = 1 → 60log 4 = 1 - p - q.
Target: 60log 16 = 60log (42) = 2 × 60log 4.
Jadi hasilnya = 2(1 - p - q).