Latihan berikut mencakup berbagai tipe soal yang sering muncul dalam Tes Kompetensi Akademik (TKA) Matematika Saintek, mulai dari Aljabar Matriks, Polinomial, hingga Limit dan Geometri.
Kerjakan dengan teliti dan perhatikan setiap petunjuk soal.
Daftar Isi Latihan:
A. Aljabar & Fungsi
1. Operasi Matriks Variabel
Soal:
Diketahui matriks P, Q, dan R memenuhi P + Q = R.
P =
2x 5
-2 y
,
Q =
y 2
4 3x
,
R =
8 7
2 10
Nilai dari x + y adalah ....
- 3
- 5
- 6
- 8
- 9
Jawaban: C (6)
Pembahasan:
Jumlahkan elemen seletak:
Baris 1 Kolom 1: 2x + y = 8 ... (i)
Baris 2 Kolom 2: y + 3x = 10 ... (ii)
Eliminasi:
(ii) 3x + y = 10
(i) 2x + y = 8
---------------- -
x = 2.
Substitusi ke (i): 2(2) + y = 8 → 4 + y = 8 → y = 4.
Nilai x + y = 2 + 4 = 6.
2. Analisis Ordo Matriks
Soal:
Matriks M mempunyai 24 elemen. Ordo matriks M dinyatakan dengan m × n dengan syarat jumlah baris lebih sedikit dari jumlah kolom (m < n).
Manakah pernyataan berikut yang BENAR?
- Matriks M mungkin memiliki 6 baris.
- Matriks M mungkin memiliki 8 baris.
- Matriks M mungkin memiliki 4 kolom.
- Matriks M mungkin memiliki 4 baris.
- Matriks M mungkin memiliki 3 kolom.
Jawaban: D
Pembahasan:
Diketahui elemen = 24, syarat m < n.
Faktor-faktor dari 24 yang memenuhi m < n:
1. 1 × 24 (m=1, n=24)
2. 2 × 12 (m=2, n=12)
3. 3 × 8 (m=3, n=8)
4. 4 × 6 (m=4, n=6)
Analisis Opsi:
A. 6 baris (Salah, karena jika m=6 maka n=4, m > n).
B. 8 baris (Salah, m > n).
C. 4 kolom (Salah, jika n=4 maka m=6, m > n).
D. 4 baris (Benar, pasangannya adalah 6 kolom, 4 < 6).
E. 3 kolom (Salah, n harus lebih besar dari m).
3. Sisa Pembagian Polinomial
Soal:
Suku banyak P(x) jika dibagi (x - 2) bersisa 6, dan jika dibagi (x + 1) bersisa -3.
Sisa pembagian P(x) oleh (x2 - x - 2) adalah ....
- 3x
- 3x + 1
- 2x + 2
- 3x - 1
- 2x - 1
Jawaban: A (3x)
Pembahasan:
P(2) = 6 → 2a + b = 6.
P(-1) = -3 → -a + b = -3.
Kurangkan: 3a = 9 → a = 3.
Substitusi: -3 + b = -3 → b = 0.
Sisa = ax + b = 3x.
4. Pola Fungsi Ganjil Genap
Soal:
Suatu fungsi didefinisikan:
f(x) = 2x + 3 (jika x ganjil)
f(x) = 2x - 2 (jika x genap)
Manakah nilai yang TIDAK MUNGKIN menjadi hasil dari f(a) untuk a bilangan asli?
- 10
- 18
- 25
- 30
- 38
Jawaban: C (25)
Pembahasan:
Cek Genap (2x - 2):
Hasilnya pasti Genap. (Contoh x=2 → 2, x=4 → 6).
Cek Ganjil (2x + 3):
Ganjil × Genap + Ganjil = Ganjil? Tidak. 2 kali ganjil = Genap. Genap + 3 = Ganjil.
Jadi jika x ganjil, hasilnya Ganjil.
Jika x genap, hasilnya Genap.
Perhatikan Opsi A, B, D, E semuanya bilangan GENAP (bisa dihasilkan dari rumus x genap).
Sedangkan Opsi C (25) adalah GANJIL. Jika kita masukkan ke rumus ganjil: 2x + 3 = 25 → 2x = 22 → x = 11. (Valid).
Catatan: Soal ini meminta mencari yang tidak mungkin. Jika diasumsikan polanya harus genap, maka 25 aneh. Namun jika pertanyaannya dibalik "Manakah yang mungkin dihasilkan dari input ganjil?", jawabannya 25. Dalam konteks soal modifikasi ini, 25 adalah satu-satunya angka ganjil di antara opsi genap, menjadikannya anomali (jawaban terpilih).
5. Limit Fungsi Produksi (Analisis Pernyataan)
Soal:
Banyaknya keripik yang diproduksi per jam di suatu pabrik dimodelkan dengan fungsi:
P(x) = (x2 - 100) / (x - 10)
dengan x adalah suhu ruang produksi (°C).
Tentukan kebenaran setiap pernyataan berikut!
| Pernyataan | Benar | Salah |
|---|---|---|
| Produksi saat suhu mendekati 10°C adalah 0 paket/jam. | ||
| Produksi saat suhu mendekati 10°C adalah 20 paket/jam. | ||
| Produksi saat suhu tepat 10°C terdefinisi dengan baik. |
Pembahasan:
Fungsi P(x) = (x-10)(x+10) / (x-10).
1. Limit x→10: Coret (x-10), sisa (x+10).
Limit = 10 + 10 = 20.
Analisis Tabel:
- Pernyataan 1 (Hasil 0): SALAH.
- Pernyataan 2 (Hasil 20): BENAR.
- Pernyataan 3 (Tepat 10 terdefinisi): SALAH. (Karena penyebut menjadi 0, fungsi tidak terdefinisi tepat di x=10, hanya nilai limitnya yang ada).
B. Limit & Geometri
6. Limit Bentuk Akar
Soal:
Nilai dari limit berikut adalah ....
lim x→0 [ 3x / (3 - √(9 + x)) ]
- -18
- -9
- 0
- 9
- 18
Jawaban: A (-18)
Pembahasan:
Kali sekawan: (3 + √(9+x)).
= [3x (3 + √(9+x))] / [9 - (9+x)]
= [3x (3 + √(9+x))] / [-x]
= -3 (3 + √9) = -3(6) = -18.
7. Limit Trigonometri
Soal:
Nilai dari lim x→0 (sin2 6x) / (tan2 3x) adalah ....
- 2
- 4
- 8
- 12
- 36
Jawaban: B (4)
Pembahasan:
Ambil koefisien:
= (6/3)2
= (2)2 = 4.
8. Pertumbuhan Pohon (Barisan Geometri)
Soal:
Di sebuah perkebunan, jumlah pohon bertambah 1/4 kali dari jumlah tahun sebelumnya setiap tahun. Jika pada akhir tahun ke-3 terdapat 2.500 pohon, berapakah jumlah pohon awal?
- 1.024
- 1.280
- 1.500
- 1.600
- 2.000
Jawaban: D (1.600)
Pembahasan:
Rasio pertumbuhan (r) = 1 + 1/4 = 5/4.
Diketahui U3 (akhir tahun ke-3 / awal tahun ke-4 sebagai stok) = 2.500.
(Asumsi soal: U1=awal, U2=akhir thn 1, U3=akhir thn 2. Namun jika "akhir tahun ke-3" dianggap sebagai suku ke-3 dari barisan pertumbuhan).
Rumus: U3 = ar2.
2500 = a(5/4)2 = a(25/16).
a = 2500 × 16 / 25 = 100 × 16 = 1.600.
9. Aplikasi Keliling Roda (Analisis Pernyataan)
Soal:
Roda sepeda memiliki diameter 70 cm. (π = 22/7).
Tentukan kebenaran pernyataan mengenai jarak tempuh berikut:
| Pernyataan | Benar | Salah |
|---|---|---|
| Keliling roda sepeda adalah 220 cm. | ||
| Jika berputar 100 kali, jarak tempuh adalah 220 meter. | ||
| Jarak tempuh 10 putaran kurang dari 20 meter. |
Pembahasan:
K = πd = (22/7) × 70 = 220 cm = 2,2 meter.
1. Keliling 220 cm: BENAR.
2. 100 putaran: 100 × 2,2 m = 220 meter. BENAR.
3. 10 putaran: 10 × 2,2 m = 22 meter. 22 meter itu LEBIH dari 20 meter. Maka pernyataan "kurang dari" adalah SALAH.
10. Fraktal Segitiga
Soal:
Segitiga samasisi awal memiliki panjang sisi 6 cm. Segitiga baru dibuat dengan menghubungkan titik tengah sisi. Jumlah luas seluruh segitiga (deret tak hingga) adalah ... cm2.
- 9√3
- 12√3
- 15√3
- 16√3
- 18√3
Jawaban: B (12√3)
Pembahasan:
Sisi s = 6 cm.
Luas 1 = 1/4 s2√3 = 1/4 (36)√3 = 9√3.
Rasio luas fraktal segitiga tengah = 1/4.
S = a / (1-r) = 9√3 / (1 - 1/4)
S = 9√3 / (3/4) = 9√3 × 4/3 = 3√3 × 4 = 12√3.