Pemahaman tentang Pola Bilangan, Barisan, dan Deret sangat krusial karena materi ini menguji kemampuan logika matematika dan sering muncul dalam berbagai variasi soal, mulai dari hitungan dasar hingga soal cerita (kontekstual).
Artikel ini merangkum latihan soal intensif yang mencakup Barisan Aritmetika, Geometri, hingga Deret Geometri Tak Hingga beserta aplikasinya.
Daftar Isi Latihan:
A. Barisan dan Deret Aritmetika
Fokus: Mencari beda (b), suku ke-n (Un), jumlah suku (Sn), dan penyelesaian masalah kontekstual (tabungan, panen, tumpukan benda).
1. Menentukan Nilai Variabel Barisan
Soal (FR SNBT 2023):
Barisan -2, p, q, -23 merupakan barisan aritmetika. Nilai p – q adalah ....
- -7
- -5
- 1
- 5
- 7
Jawaban: E (7)
Pembahasan:
Diketahui barisan: U1, U2, U3, U4 yaitu -2, p, q, -23.
U1 = -2 dan U4 = -23.
U4 = a + 3b → -23 = -2 + 3b
-21 = 3b → b = -7.
Nilai p - q sama dengan negatif dari beda (karena q - p = b).
p - q = -(q - p) = -b = -(-7) = 7.
2. Perbandingan Suku dan Jumlah Suku
Soal (UTBK 2022):
Diketahui perbandingan suku ke-5 dan suku ke-11 barisan aritmetika adalah 9 : 21. Perbandingan jumlah tiga suku pertama dan jumlah delapan suku pertama adalah....
- 3 : 41
- 5 : 52
- 7 : 57
- 9 : 64
- 11 : 76
Jawaban: D (9 : 64)
Pembahasan:
Sederhanakan rasio U5 : U11 = 9 : 21 → 3 : 7.
(a + 4b) / (a + 10b) = 3 / 7
7(a + 4b) = 3(a + 10b) → 7a + 28b = 3a + 30b
4a = 2b → b = 2a.
Rasio S3 : S8:
= [3/2 (2a + 2b)] : [8/2 (2a + 7b)]
Substitusi b = 2a:
= [3/2 (2a + 4a)] : [4 (2a + 14a)]
= [3/2 (6a)] : [4 (16a)]
= 9a : 64a = 9 : 64.
3. Soal Cerita: Hasil Panen Petani
Soal (Simulasi UNBK 2017/2018):
Seorang petani mencatat hasil panennya selalu lebih besar dari hari sebelumnya dengan selisih tetap. Jumlah panen 7 hari pertama = 147 kg, dan 10 hari pertama = 240 kg. Hasil panen sampai minggu kedua (14 hari) adalah ....
- 294 kg
- 302 kg
- 392 kg
- 480 kg
- 542 kg
Jawaban: C (392 kg)
Pembahasan:
Diketahui S7 = 147 dan S10 = 240.
(1) 7/2 (2a + 6b) = 147 → 7(a + 3b) = 147 → a + 3b = 21
(2) 10/2 (2a + 9b) = 240 → 5(2a + 9b) = 240 → 2a + 9b = 48
Eliminasi persamaan (1) dan (2) menghasilkan a = 15 dan b = 2.
Hitung S14:
S14 = 14/2 (2(15) + 13(2))
S14 = 7 (30 + 26) = 7(56) = 392 kg.
4. Soal Cerita: Tumpukan Batu Bata
Soal (UN Tahun 2018/2019):
Tumpukan paling atas 12 batu bata, selalu bertambah 2 batu bata pada tumpukan di bawahnya. Jika ada 40 tumpukan dan harga per bata Rp600,00, total biaya yang harus dikeluarkan adalah...
Jawaban: Rp1.224.000
Pembahasan:
Diketahui: a = 12, b = 2, n = 40.
S40 = 40/2 (2(12) + 39(2))
S40 = 20 (24 + 78) = 20 (102) = 2.040 buah.
Biaya Total = 2.040 × Rp600 = Rp1.224.000.
5. Soal Cerita: Pelunasan Pinjaman
Soal (UM UGM Kemampuan Dasar 2021):
Pinjaman sebesar Rp8.800.000,00 diangsur berturut-turut tiap bulan sebesar Rp250.000,00, Rp270.000,00, Rp290.000,00, ... Pinjaman akan lunas pada pembayaran bulan ke ....
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
Jawaban: D (20)
Pembahasan:
Sn = 8.800.000, a = 250.000, b = 20.000.
8.800.000 = n/2 (2(250.000) + (n-1)20.000)
Sederhanakan (bagi 10.000):
880 = n/2 (50 + 2n - 2) → 1760 = n(2n + 48)
880 = n2 + 24n → n2 + 24n - 880 = 0
(n + 44)(n - 20) = 0.
Ambil n positif, maka n = 20.
B. Barisan dan Deret Geometri
Fokus: Mencari rasio (r), rumus suku ke-n (Un = arn-1), deret geometri tak hingga, dan penerapan dalam pertumbuhan.
6. Rumus Jumlah Deret Geometri
Soal (UN Tahun 2018/2019):
Suku ke-n suatu barisan geometri adalah Un = 4n. Jumlah n suku pertama dari barisan geometri tersebut adalah ....
- 1/3 (4n+1 - 4)
- 1/3 (4n - 4)
- 1/3 (4n-1 - 4)
- 1/3 (4n+1 - n)
- 1/3 (4n-1 - n)
Jawaban: A
Pembahasan:
U1 = 41 = 4 (a = 4)
U2 = 42 = 16 → r = 16/4 = 4.
Rumus Sn = a(rn - 1) / (r - 1)
Sn = 4(4n - 1) / (4 - 1) = 4/3 (4n - 1)
Sn = 1/3 (4n+1 - 4).
7. Potongan Tali Geometri
Soal (Simulasi UN 2018/2019):
Seutas tali dipotong menjadi 5 bagian membentuk barisan geometri. Jika potongan terpendek 5 cm dan terpanjang 405 cm, panjang tali sebelum dipotong adalah ... cm.
- 450
- 475
- 505
- 605
- 750
Jawaban: D (605)
Pembahasan:
n = 5, a = 5, U5 = 405.
U5 = ar4 → 405 = 5r4
r4 = 81 → r = 3.
S5 = 5(35 - 1) / (3 - 1)
S5 = 5(242) / 2 = 5(121) = 605 cm.
8. Pertumbuhan Geometri (Pohon)
Soal (Referensi GMAT):
Setiap tahun selama 4 tahun, banyak pohon bertambah 1/3 kali dari jumlah sebelumnya. Jika pada akhir tahun ke-4 ada 6.300 pohon, banyak pohon awal adalah...
- 832
- 854
- 926
- 972
- 1.264
Jawaban: D (972)
Pembahasan:
Bertambah 1/3 kali artinya menjadi (1 + 1/3) = 4/3 kali semula. Maka r = 4/3.
Diketahui Total Akhir (S4) = 6.300.
S4 = a((4/3)4 - 1) / (4/3 - 1)
6300 = a(256/81 - 1) / (1/3)
2100 = a(175/81)
a = (2100 × 81) / 175 = 972.
9. Deret Geometri Tak Hingga Variabel
Soal (UM-UGM 2021):
Jika (x - 1), (x - 3/2), (x - 7/4) adalah tiga suku pertama deret geometri, maka jumlah tak hingga deret tersebut adalah ....
- -2
- -1
- -1/2
- 1
- 2
Jawaban: E (2)
Pembahasan:
Sifat Geometri: (U2)2 = U1 · U3
(x - 3/2)2 = (x - 1)(x - 7/4)
Dari perhitungan aljabar diperoleh x = 2.
Barisan menjadi: 1, 1/2, 1/4...
a = 1, r = 1/2.
S∞ = a / (1 - r) = 1 / (1/2) = 2.
10. Geometri Fraktal Segitiga
Soal (Referensi SNBT 2024):
Segitiga samasisi ABC dengan sisi 2√3 cm. Titik tengah dihubungkan membentuk segitiga baru, dst. Luas semua segitiga yang terbentuk adalah ... cm2.
- 2√3
- 4
- 3√3
- 6
- 4√3
Jawaban: E (4√3)
Pembahasan:
Luas segitiga samasisi L = 1/4 s2√3.
L1 = 1/4 (2√3)2 √3 = 1/4(12)√3 = 3√3.
Setiap segitiga dalam memiliki luas 1/4 dari segitiga luarnya (r = 1/4).
S∞ = a / (1 - r) = 3√3 / (1 - 1/4)
S∞ = 3√3 / (3/4) = 3√3 × 4/3 = 4√3.