Latihan Soal Fungsi Komposisi (Konsep dan HOTS)

Jawaban: A (1)

Analisis Mendalam:
Konsep: (r ∘ p)(-2) artinya kita kerjakan dari fungsi yang paling dekat dengan angka, yaitu p(-2), baru hasilnya dimasukkan ke fungsi r.

Langkah 1: Hitung p(-2)
Substitusi x = -2 ke dalam fungsi p(x):
p(-2) = √(2(-2) + 5)
p(-2) = √(-4 + 5)
p(-2) = √1 = 1.

Langkah 2: Masukkan hasil ke fungsi r
Sekarang kita hitung r(1).
r(1) = (1)² = 1.

Kesimpulan: Hasil akhirnya adalah 1.

Jawaban: A (√21)

Analisis Mendalam:
Urutan kerja: Hitung q(3) dahulu, lalu hasilnya menjadi input untuk p.

Langkah 1: Hitung q(3)
q(x) = 3x - 1
q(3) = 3(3) - 1
q(3) = 9 - 1 = 8.

Langkah 2: Hitung p(8)
Gunakan angka 8 sebagai pengganti x di fungsi p(x).
p(8) = √(2(8) + 5)
p(8) = √(16 + 5)
p(8) = √21.
(Catatan: Karena 21 bukan bilangan kuadrat sempurna, biarkan dalam bentuk akar).

Jawaban: C (-1)

Analisis Mendalam:
Urutan kerja: r(0) → q(hasil).

Langkah 1: Hitung r(0)
r(x) = x²
r(0) = 0² = 0.

Langkah 2: Hitung q(0)
q(x) = 3x - 1
q(0) = 3(0) - 1 = 0 - 1 = -1.

Jawaban: B (3√3)

Analisis Mendalam:
Ini adalah komposisi bertingkat. Kerjakan berurutan dari paling kanan (dalam): r → q → p.

Tahap 1: Hitung r(-2)
r(x) = x²
r(-2) = (-2)² = 4. (Ingat: bilangan negatif dikuadratkan hasilnya positif).

Tahap 2: Masukkan hasil ke q, hitung q(4)
q(x) = 3x - 1
q(4) = 3(4) - 1 = 12 - 1 = 11.

Tahap 3: Masukkan hasil ke p, hitung p(11)
p(x) = √(2x + 5)
p(11) = √(2(11) + 5)
p(11) = √(22 + 5) = √27.

Penyederhanaan Akar (Penting):
√27 bisa dipecah menjadi perkalian kuadrat sempurna: √(9 × 3).
√9 keluar menjadi 3, sisa √3 di dalam.
Jadi hasilnya: 3√3.

Jawaban: D (8)

Analisis Mendalam:
Urutan kerja: r → p → q.

Tahap 1: Hitung r(√2)
r(x) = x²
r(√2) = (√2)² = 2. (Akar dikuadratkan, akarnya hilang).

Tahap 2: Hitung p(2)
p(x) = √(2x + 5)
p(2) = √(2(2) + 5) = √(4 + 5) = √9 = 3.

Tahap 3: Hitung q(3)
q(x) = 3x - 1
q(3) = 3(3) - 1 = 9 - 1 = 8.

Jawaban: A (3)

Analisis Mendalam:
Soal ini meminta kita mencari nilai input a yang membuat hasil komposisinya menjadi 1.

Langkah 1: Susun fungsi komposisi (f ∘ g)(a)
(f ∘ g)(a) = f(g(a)) = f(1 - a).
Masukkan (1 - a) ke dalam fungsi f(x) = 3x + 7.
f(1 - a) = 3(1 - a) + 7
= 3 - 3a + 7 (Distribusi perkalian)
= 10 - 3a.

Langkah 2: Selesaikan Persamaan
Diketahui hasilnya harus 1.
10 - 3a = 1
-3a = 1 - 10
-3a = -9
a = -9 / -3 = 3.

Jawaban: A (2)

Analisis Mendalam:
Langkah 1: Susun fungsi komposisi
(g ∘ h)(a) = g(h(a)) = g(5a).
Masukkan (5a) ke dalam fungsi g(x) = 1 - x.
g(5a) = 1 - (5a) = 1 - 5a.

Langkah 2: Selesaikan Persamaan
1 - 5a = -9
-5a = -9 - 1
-5a = -10
a = -10 / -5 = 2.

Jawaban: B (-1)

Analisis Mendalam:
Langkah 1: Susun fungsi komposisi
(h ∘ f)(a) = h(f(a)) = h(3a + 7).
Masukkan (3a + 7) ke dalam fungsi h(x) = 5x.
h(3a + 7) = 5(3a + 7)
= 15a + 35.

Langkah 2: Selesaikan Persamaan
15a + 35 = 20
15a = 20 - 35
15a = -15
a = -15 / 15 = -1.

Jawaban: A (0)

Analisis Mendalam:
Langkah 1: Hitung bagian dalam (g ∘ g)(a) terlebih dahulu
g(a) = 1 - a.
(g ∘ g)(a) = g(1 - a).
Masukkan (1 - a) ke dalam fungsi g(x) = 1 - x lagi.
= 1 - (1 - a)
= 1 - 1 + a
= a.
(Ternyata g komposisi g mengembalikan nilai ke asalnya).

Langkah 2: Lanjutkan ke fungsi f
(f ∘ g ∘ g)(a) menjadi f(a).
f(a) = 3a + 7.

Langkah 3: Selesaikan Persamaan
3a + 7 = 7
3a = 7 - 7
3a = 0
a = 0.

Jawaban: E (-17/15)

Analisis Mendalam:
Kerjakan bertahap dari dalam.

Tahap 1: Masukkan h(a) ke f
h(a) = 5a.
(f ∘ h)(a) = f(5a) = 3(5a) + 7 = 15a + 7.

Tahap 2: Masukkan hasil Tahap 1 ke f lagi
Sekarang input kita adalah (15a + 7).
f(15a + 7) = 3(15a + 7) + 7
= 45a + 21 + 7
= 45a + 28.

Tahap 3: Selesaikan Persamaan
Diketahui hasil akhirnya -23.
45a + 28 = -23
45a = -23 - 28
45a = -51
a = -51 / 45.

Penyederhanaan Pecahan:
Kedua angka bisa dibagi 3.
-51 ÷ 3 = -17
45 ÷ 3 = 15
Jadi, a = -17/15.

Jawaban: A (2x - 1)

Analisis Mendalam:
Langkah 1: Tulis definisi komposisi
(f ∘ g)(x) = f(g(x))
Artinya, kita memasukkan g(x) ke dalam f.

Langkah 2: Lihat pola f(x)
f(x) = x + 6. (Artinya: apapun inputnya, ditambah 6).
Maka, f(g(x)) = g(x) + 6.

Langkah 3: Samakan dengan yang diketahui
g(x) + 6 = 2x + 5
g(x) = 2x + 5 - 6 (Pindahkan 6 ke kanan)
g(x) = 2x - 1.

Jawaban: C (x - 1)

Analisis Mendalam:
Langkah 1: Masukkan g(x) ke pola f(x)
Pola f(x) adalah: (input)² + 4.
Maka f(g(x)) = (g(x))² + 4.

Langkah 2: Samakan Persamaan
(g(x))² + 4 = x² - 2x + 5
(g(x))² = x² - 2x + 5 - 4
(g(x))² = x² - 2x + 1

Langkah 3: Faktorkan Ruas Kanan
Bentuk x² - 2x + 1 adalah bentuk kuadrat sempurna.
Ingat rumus: (a - b)² = a² - 2ab + b².
Maka, x² - 2x + 1 = (x - 1)².

Langkah 4: Akar kedua ruas
(g(x))² = (x - 1)²
g(x) = x - 1.

Jawaban: A (2x - 9)

Analisis Mendalam:
Masalah: Kita punya f(x + 3), tapi kita ingin mencari f(x) murni.

Langkah 1: Misalkan g(x) dengan variabel u
Misal u = x + 3.
Maka kita harus mencari nilai x: x = u - 3.

Langkah 2: Substitusi ke Persamaan Komposisi
Persamaan awal: f(x + 3) = 2x - 3.
Ganti (x + 3) dengan u.
Ganti (x) dengan (u - 3).

f(u) = 2(u - 3) - 3
f(u) = 2u - 6 - 3
f(u) = 2u - 9.

Langkah 3: Kembalikan u menjadi x
Karena kita mencari rumus fungsi umum, ganti huruf u kembali jadi x.
f(x) = 2x - 9.

Jawaban: B (x - 5)

Analisis Mendalam:
Soal ini terlihat susah karena ada kuadrat, tapi sebenarnya sangat mudah jika jeli melihat pola.

Langkah 1: Perhatikan Pola
Persamaan komposisi: (x² + 3x) - 5.
Fungsi g(x): x² + 3x.

Langkah 2: Lakukan Pemisalan Langsung
Misalkan satu paket u = x² + 3x.
Maka persamaan komposisi di atas berubah menjadi:
f(u) = u - 5.

Langkah 3: Simpulkan
Ganti u dengan x.
f(x) = x - 5.

Jawaban: E (3x² - 1)

Analisis Mendalam:
Langkah 1: Misalkan g(x) = u
u = √x.
Agar mendapat nilai x untuk disubstitusi, kita kuadratkan kedua ruas.
u² = x.

Langkah 2: Substitusi ke Persamaan
Persamaan awal: f(√x) = 3x - 1.
Ganti √x dengan u.
Ganti x dengan u².

f(u) = 3(u²) - 1
f(u) = 3u² - 1.

Langkah 3: Kembalikan ke x
f(x) = 3x² - 1.