Kumpulan soal latihan Matematika: Eksponen (10 Soal) dan Logaritma (10 Soal) lengkap dengan langkah-langkah penyelesaiannya.
A. Latihan Soal Eksponen
1. Menyederhanakan Bentuk Pangkat Negatif
Sederhanakan bentuk: \(\left( \frac{a^2b^3}{a^{-1}b^5} \right)^{-2}\)
Penyelesaian:
$$\frac{a^{2 \cdot (-2)} b^{3 \cdot (-2)}}{a^{-1 \cdot (-2)} b^{5 \cdot (-2)}} = \frac{a^{-4}b^{-6}}{a^2b^{-10}}$$ $$= a^{-4-2} \cdot b^{-6-(-10)} = a^{-6}b^4$$2. Operasi Pangkat Pecahan dan Bulat
Nilai dari \(\frac{4^3+4^3+4^3+4^3}{2^4 \times 2^4}\) adalah...
Penyelesaian:
$$\frac{4 \cdot 4^3}{2^8} = \frac{2^2 \cdot (2^2)^3}{2^8} = \frac{2^2 \cdot 2^6}{2^8} = \frac{2^8}{2^8} = 1$$3. Persamaan Eksponen Sederhana
Jika \(2^{x+2} = 64\), maka nilai dari \(x^2 - 1\) adalah...
Penyelesaian:
$$2^{x+2} = 2^6 \rightarrow x+2=6 \rightarrow x=4$$ $$\text{Nilai } x^2 - 1 = 4^2 - 1 = 16 - 1 = 15$$4. Merasionalkan Bentuk Akar
Bentuk sederhana dari \(\frac{6}{\sqrt{3}}\) adalah...
Penyelesaian:
$$\frac{6}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$$5. Nilai Pangkat Pecahan
Berapakah nilai dari \(16^{\frac{3}{4}} - 9^{\frac{1}{2}}\)?
Penyelesaian:
$$(2^4)^{\frac{3}{4}} - (3^2)^{\frac{1}{2}} = 2^3 - 3 = 8 - 3 = 5$$6. Substitusi Variabel Eksponen
Jika \(p=2\) dan \(q=3\), maka nilai dari \(\frac{p^3 q^{-2}}{p^{-1} q^3}\) adalah...
Penyelesaian:
$$\frac{p^{3-(-1)}}{q^{3-(-2)}} = \frac{p^4}{q^5} = \frac{2^4}{3^5} = \frac{16}{243}$$7. Penjumlahan Bentuk Akar
Bentuk sederhana dari \(3\sqrt{2} + 5\sqrt{8} - \sqrt{32}\) adalah...
Penyelesaian:
$$3\sqrt{2} + 5(2\sqrt{2}) - 4\sqrt{2} = (3 + 10 - 4)\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$$8. Sifat Pangkat Berpangkat
Hasil dari \(\frac{(10^3)^2}{10^{-2} \times 10^3}\) adalah...
Penyelesaian:
$$\frac{10^6}{10^{(-2+3)}} = \frac{10^6}{10^1} = 10^5$$9. Pangkat Pecahan Dua Variabel
Jika \(a=27\) dan \(b=32\), nilai dari \(a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{2}{5}}\) adalah...
Penyelesaian:
$$(3^3)^{\frac{1}{3}} \cdot (2^5)^{\frac{2}{5}} = 3^1 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12$$10. Jumlah Pangkat Negatif
Diketahui \(3^x = 81\) dan \(4^y = 16\). Nilai dari \(x^{-1} + y^{-1}\) adalah...
Penyelesaian:
$$3^x = 3^4 \rightarrow x=4; \quad 4^y = 4^2 \rightarrow y=2$$ $$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1+2}{4} = \frac{3}{4}$$B. Latihan Soal Logaritma
1. Penjumlahan & Pengurangan Logaritma
Nilai dari \(\log_2 4 + \log_2 8 - \log_2 16\) adalah...
Penyelesaian:
$$\log_2 2^2 + \log_2 2^3 - \log_2 2^4 = 2 + 3 - 4 = 1$$2. Menyatakan Logaritma dalam Variabel
Jika diketahui \(\log 2 = a\) dan \(\log 3 = b\), maka \(\log 12\) adalah...
Penyelesaian:
$$\log 12 = \log (4 \times 3) = \log 2^2 + \log 3 = 2 \cdot \log 2 + \log 3 = 2a + b$$3. Sifat Kebalikan Logaritma
Jika \(\log_x 2 = p\), maka \(\log_2 x\) adalah...
Penyelesaian:
$$\log_2 x = \frac{1}{\log_x 2} = \frac{1}{p}$$4. Sifat Perkalian & Pembagian Numerus
Bentuk sederhana dari \(^3\log 6 + ^3\log 2 - ^3\log 4\) adalah...
Penyelesaian:
$$^3\log \left( \frac{6 \times 2}{4} \right) = ^3\log 3 = 1$$5. Sifat Perkalian Logaritma Berantai
Nilai dari \((\log_3 5) \cdot (\log_5 9)\) adalah...
Penyelesaian:
$$\log_3 5 \cdot \log_5 9 = \log_3 9 = \log_3 3^2 = 2$$6. Definisi Dasar Logaritma
Jika \(\log_2 x = 5\), maka nilai \(x^2\) adalah...
Penyelesaian:
$$\log_2 x = 5 \rightarrow x = 2^5 = 32$$ $$\text{Nilai } x^2 = 32^2 = 1024$$7. Kombinasi Basis Berbeda
Nilai dari \(\log_3 27 + \log_4 \frac{1}{16}\) adalah...
Penyelesaian:
$$\log_3 3^3 + \log_4 4^{-2} = 3 + (-2) = 1$$8. Mencari Nilai Basis
Jika \(^x\log 4 + ^x\log 3 = 1\), maka nilai \(x^2\) adalah...
Penyelesaian:
$$^x\log (4 \times 3) = 1 \rightarrow ^x\log 12 = 1 \rightarrow x^1 = 12$$ $$\text{Maka } x^2 = 12^2 = 144$$9. Sifat Numerus Akar
Nilai dari \(^2\log \sqrt{8}\) adalah...
Penyelesaian:
$$^2\log 8^{\frac{1}{2}} = ^2\log (2^3)^{\frac{1}{2}} = ^2\log 2^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}$$10. Sifat Perubahan Basis
Jika \(^2\log 3 = a\), nyatakan \(^8\log 6\) dalam \(a\)!
Penyelesaian:
$$^8\log 6 = \frac{^2\log 6}{^2\log 8} = \frac{^2\log(2 \times 3)}{3} = \frac{1 + a}{3}$$