Paket latihan ketiga ini mencakup materi Aljabar Linear (Matriks), Suku Banyak (Polinomial), Persamaan Nilai Mutlak, hingga Fungsi Logaritma dan Rasional.
Seluruh soal disajikan dalam format Pilihan Ganda (A-E) standar UTBK/SNBT untuk memudahkan simulasi ujian. Kerjakan dengan teliti!
Daftar Isi Latihan:
A. Matriks & Sistem Persamaan
1. Perkalian Matriks Kuadrat
Soal:
Diketahui matriks A = 1 23 4 dan B = 0 1-1 0. Hasil dari AB2 adalah ....
- A
- -A
- B
- -B
- I (Identitas)
Jawaban: B (-A)
Pembahasan:
Hitung B2 terlebih dahulu:
B2 = 0 1-1 0 0 1-1 0
Elemen 1,1: (0)(0) + (1)(-1) = -1
Elemen 1,2: (0)(1) + (1)(0) = 0
Elemen 2,1: (-1)(0) + (0)(-1) = 0
Elemen 2,2: (-1)(1) + (0)(0) = -1
Jadi B2 = -1 00 -1 = -I (Negatif Identitas).
Maka AB2 = A(-I) = -A.
2. Pemodelan Matriks SPLDV
Soal:
Sebuah toko sembako memiliki stok beras total 100 kg. Stok tersebut dikemas dalam karung besar dan karung kecil.
Pada paket A terdapat 4 karung besar dan 2 karung kecil dengan total berat 100 kg.
Pada paket B terdapat 2 karung besar dan 5 karung kecil dengan total berat 100 kg.
Jika x adalah berat karung besar dan y berat karung kecil, persamaan matriks yang tepat adalah ....
- 4 22 5 xy = 100100
- 4 25 2 xy = 100100
- 2 42 5 xy = 100100
- xy 4 22 5 = 100100
- 4 22 5 100100 = xy
Jawaban: A
Pembahasan:
Paket A: 4 karung besar (x) + 2 karung kecil (y) = 100 → 4x + 2y = 100.
Paket B: 2 karung besar (x) + 5 karung kecil (y) = 100 → 2x + 5y = 100.
Susunan matriks koefisien:
Baris 1: 4 2
Baris 2: 2 5
Maka persamaannya: 4 22 5 xy = 100100.
3. Aplikasi Invers Matriks
Soal:
Sistem persamaan linear
3x - 2y = 4
x + y = 3
memiliki penyelesaian dalam bentuk matriks xy = a bc d 43.
Nilai dari 5(a + b + c + d) adalah ....
- 1
- 3
- 5
- 7
- 10
Jawaban: C (5)
Pembahasan:
Matriks koefisien A = 3 -21 1.
Matriks invers (a b c d) adalah A-1.
Determinan = (3)(1) - (-2)(1) = 3 + 2 = 5.
A-1 = (1/5) 1 2-1 3.
Maka:
a = 1/5, b = 2/5
c = -1/5, d = 3/5
Jumlah (a+b+c+d) = (1 + 2 - 1 + 3)/5 = 5/5 = 1.
Nilai 5(a+b+c+d) = 5(1) = 5.
B. Polinomial & Fungsi
4. Aplikasi Polinomial (Geometri)
Soal:
Sebuah akuarium berbentuk balok memiliki dimensi panjang p = (x + 2) dm, lebar l = x dm, dan tinggi t = 2x dm. Fungsi volume akuarium tersebut terhadap x adalah ....
- V(x) = 2x3 + 4x2
- V(x) = 2x3 + 2x
- V(x) = x3 + 4x2
- V(x) = 4x3 + 2x
- V(x) = 2x2 + 4x
Jawaban: A
Pembahasan:
Volume Balok V = p × l × t
V(x) = (x + 2) · (x) · (2x)
V(x) = (x2 + 2x) · (2x)
V(x) = 2x3 + 4x2.
Jadi fungsi volumenya adalah 2x3 + 4x2.
5. Teorema Sisa Polinomial
Soal:
Diketahui suku banyak P(x) = x3 + ax2 + bx - 2.
Jika P(x) dibagi (x - 1) bersisa 2, dan jika dibagi (x + 2) bersisa -4, maka nilai a · b adalah ....
- 1
- 2
- 3
- 4
- 6
Jawaban: B (2)
Pembahasan:
1. P(1) = 2 → 1 + a + b - 2 = 2 → a + b = 3 ... (i)
2. P(-2) = -4 → (-8) + 4a - 2b - 2 = -4 → 4a - 2b = 6 → 2a - b = 3 ... (ii)
Eliminasi (i) dan (ii):
(a+b) + (2a-b) = 3 + 3
3a = 6 → a = 2.
Substitusi ke (i): 2 + b = 3 → b = 1.
Nilai a · b = 2 · 1 = 2.
6. Titik Impas Fungsi Keuntungan
Soal:
Fungsi keuntungan suatu usaha dirumuskan dengan P(x) = x3 - 6x2 + 9x (dalam juta rupiah), dengan x adalah jumlah bulan berjalan.
Pada bulan ke berapa usaha tersebut mengalami titik impas (keuntungan 0)?
- Bulan ke-1 saja
- Bulan ke-2 saja
- Bulan ke-3 saja
- Bulan ke-1 dan ke-3
- Bulan ke-2 dan ke-3
Jawaban: C (Bulan ke-3)
Pembahasan:
Syarat impas P(x) = 0.
x3 - 6x2 + 9x = 0
x(x2 - 6x + 9) = 0
x(x - 3)(x - 3) = 0
Akar-akarnya adalah x = 0 (awal buka) dan x = 3.
Maka titik impas terjadi pada bulan ke-3.
C. Aljabar Lanjut
7. Persamaan Nilai Mutlak Kuadrat
Soal:
Jumlah semua nilai x yang memenuhi persamaan |x - 1|2 - 5|x - 1| + 6 = 0 adalah ....
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
Jawaban: C (4)
Pembahasan:
Misal y = |x - 1|. Persamaan menjadi y2 - 5y + 6 = 0.
(y - 2)(y - 3) = 0 → y = 2 atau y = 3.
Kasus 1 (y=2): |x - 1| = 2
x - 1 = 2 → x = 3
x - 1 = -2 → x = -1
Kasus 2 (y=3): |x - 1| = 3
x - 1 = 3 → x = 4
x - 1 = -3 → x = -2
Jumlah semua x = 3 + (-1) + 4 + (-2) = 4.
8. Pertidaksamaan Nilai Mutlak (Pemuaian)
Soal:
Perubahan panjang suatu logam dimodelkan dengan ΔL = 0,02|T - 20|. Agar perubahan panjang tidak melebihi 0,1 meter, maka rentang suhu T yang aman adalah ....
- 10 ≤ T ≤ 30
- 15 ≤ T ≤ 25
- 20 ≤ T ≤ 25
- 15 ≤ T ≤ 30
- T ≥ 25
Jawaban: B
Pembahasan:
Syarat: ΔL ≤ 0,1
0,02|T - 20| ≤ 0,1
|T - 20| ≤ 0,1 / 0,02
|T - 20| ≤ 5
-5 ≤ T - 20 ≤ 5
Tambahkan 20 ke semua ruas:
15 ≤ T ≤ 25.
9. Nilai Minimum Fungsi Logaritma
Soal:
Nilai minimum dari fungsi f(x) = 3log(x2 - 4x + 31) adalah ....
- 1
- 2
- 3
- 4
- 9
Jawaban: C (3)
Pembahasan:
Fungsi logaritma monoton naik (basis 3 > 1), maka minimum f(x) terjadi saat numerus (bagian dalam log) bernilai minimum.
Misal g(x) = x2 - 4x + 31.
Sumbu simetri x = -b/2a = 4/2 = 2.
Nilai minimum g(2) = 22 - 4(2) + 31 = 4 - 8 + 31 = 27.
Nilai minimum f(x) = 3log(27) = 3log(33) = 3.
10. Asimtot Fungsi Rasional
Soal:
Asimtot tegak dari fungsi rasional f(x) = (x - 3) / (x2 - 2x - 3) adalah garis dengan persamaan ....
- x = 3
- x = -1
- x = 1
- x = -3
- x = 2
Jawaban: B (x = -1)
Pembahasan:
Faktorkan penyebut: x2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1).
Fungsi f(x) = (x - 3) / [(x - 3)(x + 1)].
Untuk x ≠ 3, fungsi dapat disederhanakan menjadi 1 / (x + 1).
- Pembuat nol penyebut yang bisa dicoret (x=3) adalah lubang (hole), bukan asimtot.
- Pembuat nol penyebut yang tersisa (x+1=0 → x=-1) adalah asimtot tegak.
Jadi, asimtot tegaknya adalah x = -1.