Persamaan dan Fungsi Kuadrat merupakan materi fundamental matematika yang selalu muncul dalam SNBT (UTBK), Ujian Mandiri, hingga tes kedinasan. Artikel ini merangkum latihan soal intensif mulai dari teknik pemfaktoran, operasi jumlah dan hasil kali akar, menyusun persamaan baru, hingga analisis grafik fungsi dan pertidaksamaan kuadrat.
Daftar Isi Latihan:
A. Persamaan Kuadrat
Fokus: Mencari akar-akar, sifat jumlah dan hasil kali akar, serta penerapan dalam soal cerita.
1. Persamaan Rasional Kuadrat
Soal (SNBT 2024):
Jika diketahui persamaan
3
q2 - 4
=
4
q2
, maka untuk q > 0, nilai dari q - 4 yang memenuhi persamaan tersebut adalah....
- 3
- 4
- 0
- -2
- -4
Jawaban: C (0)
Pembahasan:
Kali silang kedua ruas:
3q2 = 4(q2 - 4)
3q2 = 4q2 - 16
16 = 4q2 - 3q2
16 = q2
Maka q = ±4. Karena syarat q > 0, kita ambil q = 4.
Nilai yang diminta: q - 4 = 4 - 4 = 0.
2. Irisan Himpunan Penyelesaian
Soal:
Jika x(3x + 1) = 0 dan (x + 1/3)(3x - 2) = 0, maka nilai x yang memenuhi kedua persamaan adalah....
- -2
- -1/3
- 0
- 1/3
- 2/3
Jawaban: B (-1/3)
Pembahasan:
Persamaan 1: x(3x + 1) = 0
x = 0 atau 3x = -1 → x = -1/3.
Persamaan 2: (x + 1/3)(3x - 2) = 0
x = -1/3 atau 3x = 2 → x = 2/3.
Irisan (nilai yang sama) dari kedua persamaan adalah x = -1/3.
3. Persamaan Pecahan Aljabar
Soal (Referensi GMAT):
Jika
1
x
-
1
x + 1
=
1
x + 4
, maka nilai x + 1 adalah....
- 0
- -1
- -3
- -3
- -4
Jawaban: B (-1)
Pembahasan:
Samakan penyebut di ruas kiri:
[(x + 1) - x] / [x(x + 1)] = 1 / (x + 4)
1 / (x2 + x) = 1 / (x + 4)
Karena pembilang sama (1), maka penyebut harus sama:
x2 + x = x + 4
x2 = 4 → x = 2 atau x = -2.
Cek Pilihan:
Jika x = 2 → x + 1 = 3 (Tidak ada di opsi).
Jika x = -2 → x + 1 = -1 (Ada di opsi B).
4. Operasi Akar-Akar Simetris
Soal (Simak UI 2022):
Jika x1 dan x2 akar-akar 4x2 + bx + 4 = 0, b > 0. Jika x1-1 + x2-1 = 16(x13 + x23), maka nilai b adalah....
- 4
- 6
- 7
- 8
- 10
Jawaban: 7
Pembahasan:
Dari persamaan 4x2 + bx + 4 = 0:
x1 + x2 = -b/4
x1.x2 = 4/4 = 1
Ruas Kiri:
1/x1 + 1/x2 = (x1+x2)/(x1x2) = (-b/4) / 1 = -b/4.
Ruas Kanan:
x13 + x23 = (x1+x2)3 - 3x1x2(x1+x2)
= (-b/4)3 - 3(1)(-b/4)
= -b3/64 + 3b/4
Persamaan:
-b/4 = 16 [ -b3/64 + 3b/4 ]
-b/4 = -b3/4 + 12b
Kali 4 semua ruas: -b = -b3 + 48b
b3 - 49b = 0 → b(b2 - 49) = 0.
b = 0, 7, atau -7.
Karena syarat b > 0, maka b = 7.
5. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru
Soal:
Jika α dan β akar-akar x2 + 4x - 7 = 0, maka persamaan yang akar-akarnya
α
1 + α
dan
β
1 + β
adalah....
- 2x2 + 3x + 7 = 0
- 10x2 - 18x + 7 = 0
- 2x2 - 3x - 7 = 0
- 10x2 + 18x - 7 = 0
Jawaban: B
Pembahasan:
Diketahui: α+β = -4, αβ = -7.
Jumlah Akar Baru (JAA):
= α/(1+α) + β/(1+β)
= [α(1+β) + β(1+α)] / [(1+α)(1+β)]
= [α+αβ + β+αβ] / [1 + (α+β) + αβ]
= [(-4) + 2(-7)] / [1 + (-4) + (-7)]
= -18 / -10 = 18/10.
Kali Akar Baru (KAA):
= (αβ) / [(1+α)(1+β)]
= -7 / -10 = 7/10.
PK Baru: x2 - (JAA)x + (KAA) = 0
x2 - (18/10)x + 7/10 = 0 (Kali 10)
10x2 - 18x + 7 = 0.
6. Aplikasi Soal Cerita (Volume Kotak)
Soal (Simulasi UNBK 2017/2018):
Selembar karton dibuat kotak tanpa tutup dengan membuang persegi 3x3 cm di pojoknya. Panjang alas 2 cm lebih dari lebarnya, dan volume kotak 105 cm3. Persamaan panjang kotak (x) tersebut adalah....
- x2 + 2x - 35 = 0
- x2 - 2x - 35 = 0
- x2 - 4x + 4 = 0
- x2 - 4x - 35 = 0
Jawaban: B
Pembahasan:
Misal panjang alas = x, lebar alas = y.
Diketahui x = y + 2 atau y = x - 2.
Tinggi kotak = 3 cm (dari potongan pojok).
Volume = p × l × t
105 = x · y · 3
35 = x · y
Substitusi y = x - 2:
35 = x(x - 2)
35 = x2 - 2x
x2 - 2x - 35 = 0.
B. Fungsi & Pertidaksamaan Kuadrat
Fokus: Menganalisis grafik parabola (titik puncak, titik potong) dan menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan.
7. Menentukan Fungsi dari Grafik
Soal (Simulasi UNBK 2018/2019):
Grafik parabola memotong sumbu-X di x = -2 dan x positif, serta memotong sumbu-Y di (0, -14). Persamaan fungsi kuadratnya adalah....
- f(x) = -x2 - 5x + 14
- f(x) = -x2 + 5x + 14
- f(x) = -x2 - 5x - 14
- f(x) = x2 + 5x - 14
- f(x) = x2 - 5x - 14
Jawaban: E
Pembahasan:
Analisis Grafik:
1. Grafik terbuka ke atas → a positif (Opsi A, B, C salah).
2. Memotong sumbu Y di -14 → c = -14 (Opsi D, E benar).
3. Memotong sumbu X di -2 → f(-2) harus 0.
Cek Opsi D (x2 + 5x - 14):
(-2)2 + 5(-2) - 14 = 4 - 10 - 14 = -20 ≠ 0 (Salah).
Cek Opsi E (x2 - 5x - 14):
(-2)2 - 5(-2) - 14 = 4 + 10 - 14 = 0 (Benar).
Jadi fungsi yang tepat adalah f(x) = x2 - 5x - 14.
8. Menyusun Fungsi dari Titik Puncak
Soal (Simulasi UN 2016):
Persamaan grafik fungsi kuadrat yang memiliki titik puncak P(6, -8) dan melalui titik (0, 10) adalah....
- y = 1/2 x2 - 6x + 10
- y = 1/2 x2 + 6x + 10
- y = 1/2 x2 + 3x + 10
- y = -x2 + 3x + 10
Jawaban: A
Pembahasan:
Gunakan rumus puncak: y = a(x - xp)2 + yp
y = a(x - 6)2 - 8
Substitusi titik (0, 10):
10 = a(0 - 6)2 - 8
18 = 36a → a = 1/2.
Susun persamaan:
y = 1/2(x2 - 12x + 36) - 8
y = 1/2 x2 - 6x + 18 - 8
y = 1/2 x2 - 6x + 10.
9. Analisis Nilai Minimum dan Titik Lenyap
Soal (SNBT 2024):
Nilai minimum fungsi kuadrat f adalah -8 dan grafiknya melalui titik (-1, 0) dan (3, 0). Jika grafik juga melalui titik (4, b), maka nilai b adalah....
- 10
- 4
- 5
- -4
Jawaban: A (10)
Pembahasan:
Akar-akarnya adalah -1 dan 3. Sumbu simetri x = (-1+3)/2 = 1.
Karena nilai minimum -8, maka Puncak = (1, -8).
Persamaan: y = a(x - 1)2 - 8
Melalui (3, 0):
0 = a(3 - 1)2 - 8
8 = 4a → a = 2.
Fungsi: f(x) = 2(x - 1)2 - 8.
Cari nilai b (saat x = 4):
b = f(4) = 2(4 - 1)2 - 8
b = 2(9) - 8 = 18 - 8 = 10.
10. Pertidaksamaan Kuadrat
Soal:
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan (x + 5)x ≤ 3(x2 - 2) - 1 adalah....
- {x | 1 ≤ x ≤ 7/2}
- {x | -1 ≤ x ≤ 7/2}
- {x | -7/2 ≤ x ≤ 1}
- {x | -1/2 ≤ x ≤ -1}
- {x | x ≤ -1 atau x ≥ 7/2}
Jawaban: E
Pembahasan:
Uraikan pertidaksamaan:
x2 + 5x ≤ 3x2 - 6 - 1
x2 + 5x ≤ 3x2 - 7
0 ≤ 2x2 - 5x - 7
2x2 - 5x - 7 ≥ 0
Faktorkan pembuat nol:
(2x - 7)(x + 1) = 0
x = 7/2 atau x = -1.
Uji garis bilangan (tanda ≥ 0 berarti daerah positif/luar):
Himpunan penyelesaian: x ≤ -1 atau x ≥ 7/2.