Bedah Tuntas Fungsi Komposisi & Invers: Soal Cerita dan Tipe HOTS

By /

Paket latihan ini dirancang khusus untuk menguji pemahaman mendalammu. Tidak hanya sekadar menghitung rumus, di sini kamu akan menemukan Soal Cerita Industri (Aplikasi Dunia Nyata) dan soal tipe HOTS yang sering menjebak.

Pelajari pola "Bedah Jawaban" di setiap nomor untuk memahami logika penyelesaiannya langkah demi langkah.

A. Menentukan Komponen Fungsi

1. Menentukan Fungsi Kanan g(x)

Soal:
Diketahui (f ∘ g)(x) = 6x - 3 dan f(x) = 2x + 5. Tentukan fungsi g(x)!

  1. 3x - 4
  2. 3x + 4
  3. 3x - 1
  4. 6x - 8
  5. 2x - 4

Jawaban: A (3x - 4)

Analisis Mendalam:
Langkah 1: Pahami Definisi Komposisi
(f ∘ g)(x) artinya fungsi g(x) dimasukkan ke dalam f(x).
f(x) = 2x + 5 → f(g(x)) = 2(g(x)) + 5.

Langkah 2: Samakan Persamaan
2(g(x)) + 5 = 6x - 3
2(g(x)) = 6x - 3 - 5
2(g(x)) = 6x - 8
(Bagi kedua ruas dengan 2)
g(x) = 3x - 4.

2. Menentukan Fungsi Kiri f(x)

Soal:
Diketahui (f ∘ g)(x) = 4x2 + 8x - 3 dan g(x) = 2x + 2. Tentukan fungsi f(x)!

  1. x2 - 3
  2. x2 - 7
  3. x2 + 7
  4. 2x2 - 3
  5. x2 + 2x - 3

Jawaban: B (x2 - 7)

Analisis Mendalam:
Untuk mencari fungsi luar f(x), kita gunakan Pemisalan (Invers).

Langkah 1: Misalkan g(x) = u
u = 2x + 2 → 2x = u - 2 → x = (u - 2) / 2.

Langkah 2: Substitusi x ke Komposisi
f(u) = 4x2 + 8x - 3
f(u) = 4[ (u - 2)/2 ]2 + 8[ (u - 2)/2 ] - 3
f(u) = 4[ (u2 - 4u + 4)/4 ] + 4(u - 2) - 3
(Angka 4 pembilang dan penyebut dicoret)
f(u) = (u2 - 4u + 4) + (4u - 8) - 3
f(u) = u2 - 4u + 4u + 4 - 8 - 3
f(u) = u2 - 7.

Langkah 3: Ubah ke variabel x
f(x) = x2 - 7.

3. Menentukan Fungsi f(x) Pecahan dan Nilainya

Soal:
Diketahui (f ∘ g)(x) = (2x + 1) / (x - 3) dan g(x) = x + 1. Tentukan nilai dari f(-2)!

  1. 5/6
  2. -5/6
  3. 1/2
  4. -1/2
  5. 1

Jawaban: A (5/6)

Analisis Mendalam:
Soal ini meminta nilai f(-2), jadi kita cari rumus f(x) dulu.

Langkah 1: Misalkan g(x) = u
u = x + 1 → x = u - 1.

Langkah 2: Substitusi ke Komposisi
f(u) = [2(x) + 1] / [(x) - 3]
f(u) = [2(u - 1) + 1] / [(u - 1) - 3]
f(u) = (2u - 2 + 1) / (u - 4)
f(u) = (2u - 1) / (u - 4)
Maka, f(x) = (2x - 1) / (x - 4).

Langkah 3: Hitung f(-2)
f(-2) = [2(-2) - 1] / [-2 - 4]
f(-2) = (-4 - 1) / (-6)
f(-2) = -5 / -6 = 5/6.

4. Menentukan g(x) pada Fungsi Kuadrat

Soal:
Diketahui (f ∘ g)(x) = x2 + 4x dan f(x) = x2 - 4. Tentukan fungsi g(x)!

  1. x + 2
  2. x - 2
  3. x + 4
  4. x - 4
  5. x + 1

Jawaban: A (x + 2)

Analisis Mendalam:
Langkah 1: Masukkan g(x) ke f
f(x) = x2 - 4.
f(g(x)) = (g(x))2 - 4.

Langkah 2: Samakan dengan yang diketahui
(g(x))2 - 4 = x2 + 4x
(g(x))2 = x2 + 4x + 4

Langkah 3: Faktorkan Ruas Kanan
Bentuk x2 + 4x + 4 adalah kuadrat sempurna.
Ingat: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Maka: (g(x))2 = (x + 2)2.
g(x) = x + 2.

B. Studi Kasus Industri / Soal Cerita

5. Pabrik Kertas (Analisis Bahan Baku)

Soal:
Sebuah pabrik kertas memproses kayu melalui dua tahap:
Tahap 1 (mesin A) menghasilkan bahan kertas setengah jadi (m) mengikuti fungsi m = g(x) = x2 - 3x, dengan x adalah berat kayu dalam ton.
Tahap 2 (mesin B) menghasilkan kertas (y) mengikuti fungsi y = f(m) = 2m + 5.
Jika pabrik ingin menghasilkan 25 ton kertas, berapa ton kayu yang harus disediakan?

  1. 2 ton
  2. 5 ton
  3. 10 ton
  4. 15 ton
  5. 25 ton

Jawaban: B (5 ton)

Analisis Mendalam:
Kita harus bekerja mundur (Backtracking) dari Output akhir ke Input awal.

Langkah 1: Cari nilai m (Bahan Setengah Jadi)
Diketahui Output y = 25 ton.
y = 2m + 5
25 = 2m + 5
20 = 2m → m = 10.

Langkah 2: Cari nilai x (Kayu)
Diketahui m = 10.
m = x2 - 3x
10 = x2 - 3x
x2 - 3x - 10 = 0
Faktorkan: (x - 5)(x + 2) = 0.
x = 5 atau x = -2.

Kesimpulan: Karena berat kayu tidak mungkin negatif, maka yang diambil adalah 5 ton.

6. Produksi Chip AI (Analisis Biaya)

Soal:
Sebuah perusahaan teknologi memproduksi chip AI. Biaya produksi total bergantung pada jumlah bahan baku silikon yang digunakan (x kg).

Prosesnya terdiri dari dua tahap:
Tahap Pemurnian (Fungsi g): Menghitung jumlah unit chip setengah jadi (m) yang dihasilkan dari x kg silikon: m = g(x) = x2 + 2x.
Tahap Perakitan (Fungsi f): Menghitung total biaya produksi (C) dalam jutaan Rupiah berdasarkan jumlah unit chip setengah jadi (m): C = f(m) = 3m + 10.

Jika perusahaan tersebut menganggarkan total biaya produksi sebesar 250 juta, berapakah jumlah bahan baku silikon (x) yang harus disediakan?

  1. 5 kg
  2. 6 kg
  3. 8 kg
  4. 10 kg
  5. 12 kg

Jawaban: C (8 kg)

Analisis Mendalam:
Kerjakan mundur dari Biaya (C) ke Bahan Baku (x).

Langkah 1: Cari nilai m (Unit Setengah Jadi)
Diketahui C (Biaya) = 250.
C = 3m + 10
250 = 3m + 10
240 = 3m
m = 240 / 3 = 80.

Langkah 2: Cari nilai x (Bahan Silikon)
Diketahui m = 80.
m = x2 + 2x
80 = x2 + 2x
x2 + 2x - 80 = 0
Faktorkan: (x + 10)(x - 8) = 0.
x = -10 atau x = 8.

Kesimpulan: Berat silikon harus positif, jadi x = 8 kg.

C. Fungsi Pecahan & Tipe HOTS

7. Mencari g(x) pada Fungsi Pecahan (HOTS)

Soal:
Diketahui (f ∘ g)(x) = x / (x + 2) dan f(x) = (x - 1) / (x + 1). Tentukan fungsi g(x) yang paling sederhana!

  1. x + 1
  2. x - 1
  3. x + 2
  4. 2x + 1
  5. -x + 1

Jawaban: A (x + 1)

Analisis Mendalam:
Soal tipe ini butuh ketelitian aljabar pecahan.

Langkah 1: Masukkan g(x) ke f
f(g(x)) = (g(x) - 1) / (g(x) + 1).

Langkah 2: Samakan dengan yang diketahui
(g(x) - 1) / (g(x) + 1) = x / (x + 2)

Langkah 3: Kali Silang (Cross Multiply)
(g(x) - 1)(x + 2) = x(g(x) + 1)
x.g(x) + 2.g(x) - x - 2 = x.g(x) + x
(Perhatikan: suku x.g(x) ada di kiri dan kanan, bisa dicoret/dihilangkan)
2.g(x) - x - 2 = x
2.g(x) = x + x + 2
2.g(x) = 2x + 2
g(x) = (2x + 2) / 2
g(x) = x + 1.

8. Mencari Fungsi f dengan Variabel Bergeser

Soal:
Diketahui (f ∘ g)(x) = 4x2 - 12x + 15 dan g(x) = 2x - 3. Tentukan fungsi f(x - 1)!

  1. x2 - 2x + 7
  2. x2 + 6
  3. x2 + 7
  4. 4x2 - 12x + 14
  5. x2 + 2x + 7

Jawaban: A (x2 - 2x + 7)

Analisis Mendalam:
Strategi: Cari f(x) dulu, baru ganti x dengan (x-1).

Langkah 1: Cari f(x)
Misal u = 2x - 3 → x = (u + 3)/2.
f(u) = 4[ (u + 3)/2 ]2 - 12[ (u + 3)/2 ] + 15
f(u) = 4[ (u2 + 6u + 9)/4 ] - 6(u + 3) + 15
f(u) = (u2 + 6u + 9) - 6u - 18 + 15
f(u) = u2 + 6.
Jadi f(x) = x2 + 6.

Langkah 2: Cari f(x - 1)
Ganti setiap x pada f(x) dengan (x - 1).
f(x - 1) = (x - 1)2 + 6
f(x - 1) = (x2 - 2x + 1) + 6
f(x - 1) = x2 - 2x + 7.

D. Operasi Nilai Fungsi

9. Mencari Nilai Fungsi Komposisi Pecahan

Soal:
Jika f(x) = 2 + (1/x) dan (f ∘ g)(x) = x - 2, maka nilai g(3) adalah ....

  1. -2
  2. -1
  3. 0
  4. 1
  5. 2

Jawaban: B (-1)

Analisis Mendalam:
Langkah 1: Cari Rumus g(x)
f(g(x)) = 2 + (1 / g(x))
Samakan dengan hasil diketahui:
2 + (1 / g(x)) = x - 2
1 / g(x) = x - 2 - 2
1 / g(x) = x - 4
Balik kedua ruas: g(x) = 1 / (x - 4).

Langkah 2: Hitung g(3)
g(3) = 1 / (3 - 4)
g(3) = 1 / (-1)
g(3) = -1.

10. Mencari Nilai Variabel p

Soal:
Diketahui f(x) = 3x + 7 dan g(x) = 2x + 5. Jika (f ∘ g)(p) = -2, maka nilai p adalah ....

  1. -2
  2. -3
  3. -4
  4. -5
  5. -6

Jawaban: C (-4)

Analisis Mendalam:
Langkah 1: Susun Komposisi (f ∘ g)(p)
(f ∘ g)(p) = f(g(p)) = f(2p + 5).
Masukkan (2p + 5) ke fungsi f:
= 3(2p + 5) + 7
= 6p + 15 + 7
= 6p + 22.

Langkah 2: Selesaikan Persamaan
6p + 22 = -2
6p = -2 - 22
6p = -24
p = -24 / 6 = -4.

Related Posts

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Scroll to Top