Eksponen Bentuk akar dan Logaritma

Jawaban: B (18)

Pembahasan:
Uraikan basisnya:
6⁵ = (2 × 3)⁵ = 2⁵ × 3⁵
4 = 2²

Substitusi ke dalam kurung:
= ( (2⁵ × 3⁵) / (3^-1 × 2²) )^1/3
= ( 2^5-2 × 3^5-(-1) )^1/3
= ( 2³ × 3⁶ )^1/3
= 2^{(3 × 1/3)} × 3^{(6 × 1/3)}
= 2¹ × 3²
= 2 × 9 = 18.

Jawaban: B (5p⁵q²)

Pembahasan:
Sederhanakan angka dan variabel di dalam kurung dulu:
5/25 = 1/5 = 5^-1
p: -2 - 3 = -5
q: 2 - 4 = -2
Bentuk dalam kurung menjadi: (5^-1 p^-5 q^-2)

Dipangkatkan -1:
= 5^{(-1 × -1)} p^{(-5 × -1)} q^{(-2 × -1)}
= 5¹ p⁵ q²
= 5p⁵q²

Jawaban: C (-4)

Pembahasan:
Samakan basis menjadi 3:
(3²)^x+2 = ( (3³)^3x+8 )^1/3

Sederhanakan pangkat:
Kiri: 3^2x+4
Kanan: 3 ^3(3x+8)/3 → angka 3 coret → 3^3x+8

Samakan pangkatnya:
2x + 4 = 3x + 8
4 - 8 = 3x - 2x
x = -4

Jawaban: B (-4)

Pembahasan:
Ubah ke basis 5:
Kiri: √((5³)^x) = (5^3x)^1/2 = 5^3x/2
Kanan: 5^1-x / 5² = 5^1-x-2 = 5^-1-x

Persamaan pangkat:
3x/2 = -1 - x
3x = 2(-1 - x)
3x = -2 - 2x
5x = -2
x = -2/5

Nilai 10x = 10 × (-2/5) = 2 × -2 = -4.

Jawaban: E (6√7)

Pembahasan:
Sederhanakan setiap akar dengan mencari faktor kuadrat sempurna (100, 9, 25):
√700 = √(100 × 7) = 10√7
2√63 = 2√(9 × 7) = 2(3)√7 = 6√7
√175 = √(25 × 7) = 5√7

Gabungkan koefisiennya:
= 10√7 - 6√7 + 5√7 - 3√7
= (10 - 6 + 5 - 3)√7
= 6√7.

Jawaban: E (4 + 2√3)

Pembahasan:
Langkah 1: Sederhanakan pembilang (atas).
Ingat sifat (a+b)(a-b) = a² - b².
(√5 + √3)(√5 - √3) = 5 - 3 = 2.

Langkah 2: Pecahan menjadi 2 / (2 - √3).
Rasionalkan dengan mengalikan sekawan penyebut (2 + √3):
= 2 2 - √3 × 2 + √3 2 + √3

= 2(2 + √3) / (2² - (√3)²)
= (4 + 2√3) / (4 - 3)
= (4 + 2√3) / 1
= 4 + 2√3.

Jawaban: B

Pembahasan:
Gunakan rumus akar rangkap:
√(a - 2√b) = √m - √n, dengan syarat:
m + n = a
m × n = b

Diketahui a = 8/15 dan b = 1/15.
Cari dua pecahan yang jika dijumlah hasilnya 8/15 dan dikali hasilnya 1/15.
Angka tersebut adalah 1/3 dan 1/5.
Cek: 1/3 + 1/5 = 5/15 + 3/15 = 8/15 (Benar).

Maka hasilnya (ingat m harus lebih besar dari n):
= √(1/3) - √(1/5)
= 1/√3 - 1/√5.

Jawaban: C (40)

Pembahasan:
Kalikan kedua ruas dengan 2 untuk menghilangkan penyebut:
2√(2 + √3) = √a + √b

Masukkan angka 2 ke dalam akar (menjadi 4):
√(4(2 + √3)) = √a + √b
√(8 + 4√3) = √a + √b

Ubah bentuk 4√3 menjadi 2√12 (agar sesuai format √(x + 2√y)):
√(8 + 2√12) = √a + √b

Cari dua angka yang dijumlah = 8 dan dikali = 12. Angkanya adalah 6 dan 2.
Maka: √6 + √2 = √a + √b.
Didapat a = 6 dan b = 2.

Hitung nilai akhir:
a² + b² = 6² + 2² = 36 + 4 = 40.

Jawaban: B (2)

Pembahasan:
Bagian 1: Perkalian Logaritma
Gunakan sifat ^alog bⁿ = n · ^alog b dan sifat rantai ^alog b · ^blog c = ^alog c.
⁷log 4 · ²log 5
= ⁷log 2² · ²log 5
= 2 · ⁷log 2 · ²log 5
= 2 · ⁷log 5   ... (Persamaan 1)

Bagian 2: Pembagian Logaritma
⁷log (49/25) = ⁷log 49 - ⁷log 25
= ⁷log 7² - ⁷log 5²
= 2 - 2 · ⁷log 5   ... (Persamaan 2)

Gabungkan:
(Persamaan 1) + (Persamaan 2)
= (2 · ⁷log 5) + (2 - 2 · ⁷log 5)
Coret suku yang sama (positif dan negatif):
= 0 + 2
= 2.

Jawaban: D (1/2 m + 1/2)

Pembahasan:
Ubah basis 25 menjadi 5² agar sesuai dengan yang diketahui (basis 5):
²⁵log 20 = ⁵²log 20

Gunakan sifat ^{a^n}log b = (1/n) · ^alog b:
= 1/2 · ⁵log 20

Pecah numerus 20 menjadi perkalian (5 × 4):
= 1/2 ( ⁵log (5 × 4) )
= 1/2 ( ⁵log 5 + ⁵log 4 )

Substitusi nilai yang diketahui (⁵log 5 = 1 dan ⁵log 4 = m):
= 1/2 ( 1 + m )
= 1/2 + 1/2 m atau sama dengan 1/2 m + 1/2.